1) На четырёх различных чертежах постройте следующие отрезки, используя заданные точки: а) Отрезок, соединяющий точки

а) Для построения данного отрезка нам потребуется заданная точка c(0, -2), которая является центром симметрии относительно отрезка av, и точки a(1, -1) и v(3, 1), которые являются концами отрезка av. Чтобы найти симметричную точку относительно центра симметрии, мы можем использовать следующую формулу:

Итак, симметричная точка будет иметь координаты (x, y):
\[x = 2 \cdot x_c - x_a\]
\[y = 2 \cdot y_c - y_a\]

Подставим значения точек в формулу:
\[x = 2 \cdot 0 - 1 = -1\]
\[y = 2 \cdot (-2) - (-1) = -3\]

Таким образом, симметричная точка относительно отрезка av и точки с будет иметь координаты (-1, -3). Соединяя точки a(1, -1) и (-1, -3), получаем требуемый отрезок.

б) Чтобы построить отрезок, который является симметричным относительно оси av, мы должны соединить точку a(1, -1) и точку c(0, -2), а затем нарисовать отрезок, симметричный уже построенному отрезку относительно этой оси. Таким образом, нам нужно построить отрезок ac и отразить его относительно оси av.

Сначала соединим точки a(1, -1) и c(0, -2). Получаем отрезок ac. Затем, для построения симметричного отрезка относительно оси av, будем идти от точки a в противоположную сторону на ту же длину, на которую находится точка c относительно оси av.

Отрезок ac будет иметь координаты:
\[x = 1 - 0 = 1\]
\[y = -1 - (-2) = 1\]

Таким образом, точка с будет иметь координаты (1, 1). Соединяя точки a(1, -1) и с(1, 1), получаем требуемый отрезок.

в) Чтобы построить отрезок, который получается при параллельном переносе отрезка av на вектор ас, мы будем использовать формулы параллельного переноса для каждой из координат.

Для x-координаты:
\[x" = x + a_x - c_x\]
Для y-координаты:
\[y" = y + a_y - c_y\]

Подставим значения точек a(1, -1), c(0, -2) и v(3, 1) в формулы:
\[x" = 3 + 1 - 0 = 4\]
\[y" = 1 + (-1) - (-2) = 2\]

Таким образом, точка v" будет иметь координаты (4, 2). Соединяя точки a(1, -1) и v"(4, 2), получаем требуемый отрезок.

г) Чтобы построить отрезок, который получается при повороте отрезка ac вокруг точки v(3, 1) на 90 градусов против часовой стрелки, мы можем использовать формулы поворота точки на плоскости.

Формулы для поворота против часовой стрелки на 90 градусов:
\[x" = x_c + (y - y_c)\]
\[y" = y_c - (x - x_c)\]

Подставим значения точек a(1, -1), c(0, -2) и v(3, 1) в формулы:
\[x" = 3 + ((-2) - 1) = 3 + (-3) = 0\]
\[y" = 1 - (1 - 3) = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3\]

Таким образом, точка c" будет иметь координаты (0, 3). Соединяя точки a(1, -1) и c"(0, 3), получаем требуемый отрезок.

Построение каждого отрезка описано подробно, чтобы ученик мог понять, какие шаги нужно сделать для получения нужного результата.