1. На бумаге со клеткама размером 1 см х 1 см нарисована фигура. Какова ее площадь в квадратных сантиметрах? Варианты

1. Чтобы найти площадь фигуры на клетчатой бумаге, мы должны посчитать количество целых клеток, содержащихся внутри этой фигуры. В данной задаче нам дана фигура, но обозначена лишь её форма. Мы не знаем количество клеток, занимаемых фигурой.

Чтобы решить данную задачу, давайте вспомним, что все клетки на клетчатой бумаге имеют одинаковый размер. Кроме того, по условию размер клетки равен 1 см x 1 см.

Для определения площади фигуры нам нужно просуммировать размеры всех клеток, которые она занимает. Мы можем сделать это, подсчитав количество полных клеток на длине и ширине фигуры, а затем перемножив эти значения.

Давайте рассмотрим данную фигуру:

¯¯¯¯¯¯¯
|)
|)

Здесь количество полных клеток по длине равно 2, а по ширине - 1. Перемножим эти значения, чтобы найти площадь:

2 клетки * 1 клетка = 2 клетки^2

Теперь нам нужно перевести площадь из клеток^2 в квадратные сантиметры. Используя информацию о размере клетки (1 см x 1 см), мы можем сказать, что 1 клетка^2 равна 1 см^2. Таким образом, площадь фигуры равна 2 см^2.

Ответ: A) 2 см^2.

2. Чтобы найти площади треугольников PKC и KCT, нам необходимо использовать формулу для нахождения площади треугольника:

Площадь треугольника = (основание * высота) / 2.

Давайте начнем с треугольника PKC. У нас есть данные о его сторонах и один угол. Мы должны найти длину основания и высоту.

Мы знаем, что PK = 17 см, а PC = 30 см. Чтобы найти высоту треугольника, мы можем использовать теорему Пифагора:

\(PT^2 = PK^2 - KT^2\)

\(PT^2 = 17^2 - 65^2\)

Для облегчения расчётов мы можем использовать тот факт, что \(65^2\) заканчивается на 25, а \(17^2\) заканчивается на 89:

\(PT^2 = 89 - 25 = 64\)

\(PT = \sqrt{64} = 8\)

Теперь у нас есть длина PT, которая является высотой треугольника PKC. Чтобы найти площадь этого треугольника, мы должны найти основание. Поскольку это треугольник PCK, основание равно PC, то есть 30 см.

Подставим наши значения в формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника PKC = (30 см * 8 см) / 2

Площадь треугольника PKC = 240 см^2

Теперь давайте найдем площадь треугольника KCT. У нас есть данные о его сторонах и нам необходимо найти длину основания и высоту.

Мы знаем, что KT = 65 см, а CT = 50 см. Чтобы найти высоту треугольника, мы можем снова использовать теорему Пифагора:

\(PK^2 = KT^2 - PT^2\)

\(PK^2 = 65^2 - 8^2\)

\(PK^2 = 4225 - 64\)

\(PK = \sqrt{4161} \approx 64.494\)

Теперь у нас есть длина PK, которая является высотой треугольника KCT. Чтобы найти площадь этого треугольника, нам нужно найти базу. Поскольку это треугольник KCT, основание равно CT, то есть 50 см.

Подставим наши значения в формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника KCT = (50 см * 64,494 см) / 2

Площадь треугольника KCT = 1624,85 см^2

Ответ: Площадь треугольника PKC равна 240 см^2, а площадь треугольника KCT равна 1624,85 см^2.

3. Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, мы должны использовать формулу для нахождения площади параллелограмма:

Площадь параллелограмма = сторона * высота.

Дано, что точка E на стороне AD делит её на две части в пропорции 2:3, а также что BE = 4 см и BD = 5 см. Мы должны найти высоту параллелограмма и одну из его сторон.

Высота параллелограмма - это расстояние между параллельными сторонами, которое можно найти, используя отношение между сторонами и соответствующими сторонами треугольников.

Мы знаем, что AE:ED = 2:3.

Тогда мы можем предположить, что AE = 2x и ED = 3x, где x - общий множитель.

Зная, что AE + ED = AD, мы можем записать:

2x + 3x = 5x = AD

Теперь мы можем найти значение x:

5x = 5 см

x = 1 см

Таким образом, AE = 2 см, а ED = 3 см.

Теперь нам нужно найти высоту параллелограмма, которая равна высоте треугольника. Мы можем использовать формулу для площади треугольника, чтобы найти его высоту:

площадь треугольника = (сторона * высота) / 2

Площадь треугольника ABE = (2 см * высота) / 2

Подставим значения площади треугольника ABE (равную 4 см^2) и длину стороны AE (равную 2 см) для решения уравнения:

4 см^2 = (2 см * высоту) / 2

4 см^2 = 1 см * высоту

высота = 4 см^2 / 1 см

высота = 4 см

Теперь у нас есть размер высоты, равный 4 см. Также, нам дано, что сторона BE равна 4 см.

Площадь параллелограмма ABCD = сторона * высота

Площадь параллелограмма ABCD = 4 см * 4 см

Площадь параллелограмма ABCD = 16 см^2

Ответ: Площадь параллелограмма ABCD равна 16 см^2.

4. Для решения данной задачи давайте воспользуемся знаниями о трапеции и её свойствах.

Угол К равен 45 градусам, что означает, что его дополнительный угол равен 90 градусов. Зная, что высота КН делит основание AK пополам, мы можем предположить, что точка Н находится на середине основания AK. Пусть точка О - середина основания AK.

Теперь у нас есть следующая трапеция:

B - C
/ \
/ \
A - - O------------ K
| |
| |
---------------

Мы знаем, что большая боковая сторона равна 3√2 см. Также, мы знаем, что высота CH делит основание AK пополам.

Пусть высота равна h, тогда OH = h.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник OHК, в котором у нас есть гипотенуза ОК (равная большей боковой стороне трапеции) и один из катетов OH (равный h).

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти другой катет треугольника ОК:

\(КН^2 = ОН^2 + ОК^2\)

\((h/2)^2 + (3\sqrt{2})^2 = h^2\)

Раскрыв скобки и упростив, получим:

\(h^2/4 + 18 = h^2\)

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\(h^2 + 72 = 4h^2\)

\(-3h^2 = -72\)

Разделим обе части уравнения на -3, чтобы избавиться от отрицания:

\(h^2 = 24\)

Теперь мы можем найти длину основания AK, используя теорему Пифагора:

\(AK^2 = ОН^2 + АО^2\)

\(AK^2 = (h/2)^2 + (3\sqrt{2}/2)^2\)

\((h^2/4) + (18/2) = AK^2\)

\((h^2/4) + 9 = AK^2\)

\((24/4) + 9 = AK^2\)

\(6 + 9 = AK^2\)

\(AK^2 = 15\)

Теперь у нас есть длина основания AK, равная \(\sqrt{15}\) см, а также высота h, равная \(\sqrt{24}\) см. Площадь трапеции можно найти, используя формулу:

Площадь трапеции = (сумма оснований * высота) / 2

Подставим значения суммы оснований (15 см + \(\sqrt{15}\) см) и высоту (0.5 * \(\sqrt{24}\) см) в формулу:

Площадь трапеции = (\((15 + \sqrt{15}) * \sqrt{24}\)) / 2

Площадь трапеции = (\(15\sqrt{24} + \sqrt{15}\sqrt{24}\)) / 2

Подсчитаем выражение под знаком деления:

Площадь трапеции = \(7.5\sqrt{24} + \sqrt{360}\) см^2

Ответ: Площадь трапеции ABCK равна \(7.5\sqrt{24} + \sqrt{360}\) см^2.