1. Какой является 10-й член арифметической прогрессии (аn) с первым членом 3 и разностью 2? 2. Какая сумма первых

Шаг 1: Найдем формулу для нахождения \(n\)-го члена арифметической прогрессии.

Формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии (ан) с первым членом \(a_1\) и разностью \(d\) задается следующим образом:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Шаг 2: Решим поставленные задачи.

1. Для нахождения 10-го члена арифметической прогрессии с первым членом 3 и разностью 2, мы можем использовать формулу:

\[a_{10} = a_1 + (10 - 1) \cdot d\]

Подставляя значения:

\[a_{10} = 3 + (10 - 1) \cdot 2 = 3 + 9 \cdot 2 = 3 + 18 = 21\]

Таким образом, 10-й член арифметической прогрессии равен 21.

2. Чтобы найти сумму первых 26 членов арифметической прогрессии, у нас есть несколько вариантов. Одним из них является использование формулы для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]\]

Подставляя значения:

\[S_{26} = \frac{26}{2}[2 \cdot 7 + (26 - 1)\cdot 4] = 13[14 + 25 \cdot 4] = 13[14 + 100] = 13 \cdot 114 = 1482\]

Таким образом, сумма первых 26 членов арифметической прогрессии равна 1482.

3. Если последовательность задана формулой \(a_n = 5n + 2\), то для нахождения суммы первых 10 членов мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]\]

В данном случае \(a_1 = 5 \cdot 1 + 2 = 7\) и \(d = 5\) (разность между членами постоянная).

Подставляя значения:

\[S_{10} = \frac{10}{2}[2 \cdot 7 + (10 - 1) \cdot 5] = 5[14 + 9 \cdot 5] = 5[14 + 45] = 5 \cdot 59 = 295\]

Таким образом, сумма первых 10 членов равна 295.

4. Дано, что первый член арифметической прогрессии равен 10, а девятый член равен 19. Мы можем найти разность \(d\) между членами, используя формулу для \(n\)-го члена:

\[a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d\]

Подставляя значения:

\[19 = 10 + (9 - 1) \cdot d\]
\[19 = 10 + 8d\]
\[8d = 19 - 10\]
\[8d = 9\]
\[d = \frac{9}{8}\]

Таким образом, разность между членами арифметической прогрессии равна \(\frac{9}{8}\).

Чтобы найти сумму первых 11 членов, мы можем использовать формулу для суммы первых \(n\) членов:

\[S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d]\]

Подставляя значения:

\[S_{11} = \frac{11}{2}[2 \cdot 10 + (11 - 1) \cdot \frac{9}{8}] = 5.5[20 + 10 \cdot \frac{9}{8}] = 5.5[20 + \frac{90}{8}] = 5.5 \cdot \frac{200}{8} = 5.5 \cdot 25 = 137.5\]

Таким образом, сумма первых 11 членов арифметической прогрессии равна 137.5.

5. Если последовательность задана формулой \(a_n = n^2 + 2\), чтобы найти значение третьего члена, мы можем подставить \(n = 3\) в формулу:

\[a_3 = 3^2 + 2 = 9 + 2 = 11\]

Таким образом, третий член последовательности равен 11.

Аналогично, чтобы найти значение десятого члена, мы можем подставить \(n = 10\) в формулу:

\[a_{10} = 10^2 + 2 = 100 + 2 = 102\]

Таким образом, десятый член последовательности равен 102.