1. Какой угол должен быть у луча фонаря, чтобы ныряльщик, находящийся далеко от берега, был виден человеком на берегу?

Задача 1:

Чтобы понять, какой угол должен быть у луча фонаря, чтобы ныряльщик был виден человеком на берегу, мы будем использовать закон преломления света - закон Снеллиуса.

Закон Снеллиуса гласит, что отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно обратному отношению показателей преломления двух сред:
\[\frac{{\sin(\theta_1)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{n_2}}{{n_1}}\]

В данной задаче мы в качестве первой среды принимаем воздух, у которого показатель преломления равен 1. Показатель преломления воды равен 1,3. Пусть \(\theta_1\) - угол падения светового луча на поверхность воды, а \(\theta_2\) - угол преломления.

Так как мы хотим, чтобы ныряльщик был виден человеком на берегу, световой луч должен попадать на глаз наблюдателя на берегу. Заметим, что угол между поверхностью воды и лучом фонаря равен \(\theta_1 + \theta_2\), так как угол преломления считается относительно нормали к поверхности в данной точке.

Теперь воспользуемся законом Снеллиуса. В нашем случае \(\theta_1 + \theta_2\) - это угол между лучом фонаря и нормалью к поверхности воды, а \(\theta_2\) - угол между нормалью к поверхности воды и линией зрения наблюдателя.

\[\frac{{\sin(\theta_1 + \theta_2)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{n_{\text{вода}}}}{{n_{\text{воздух}}}}\]

После подстановки известных значений получаем:

\[\frac{{\sin(\theta_1 + \theta_2)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{1.3}}{{1}}\]

Теперь нам нужно выразить углы через другие известные значения. Заметим, что сумма углов \(\theta_1 + \theta_2\) равна углу падения светового луча на поверхность воды. Используем это наблюдение и закон синусов для треугольника, образованного лучом фонаря, нормалью к поверхности воды и линией зрения наблюдателя:

\[\frac{{\sin(\theta_1 + \theta_2)}}{{h}} = \frac{{\sin(\theta_2)}}{{L}}\]

Здесь \(h\) - высота ныряльщика над уровнем воды, \(L\) - расстояние от наблюдателя до воды.

Теперь можно решить эту систему уравнений и найти искомые углы. Однако, для упрощения решения, мы можем пренебречь высотой ныряльщика и считать, что \(\sin(\theta_1 + \theta_2) \approx \sin(\theta_2)\).

Тогда получаем:

\[\frac{{\sin(\theta_2)}}{{\sin(\theta_2)}} = \frac{{1.3}}{{1}}\]

Отсюда следует, что \(\sin(\theta_2) = 1.3\).

Чтобы найти угол, возьмем arcsin от обеих частей:

\[\theta_2 = \arcsin(1.3)\]

Правда, значение \(\arcsin(1.3)\) не определено, так как синус угла не может быть больше 1. Это означает, что такого угла не существует, и ныряльщик не будет виден человеком на берегу при данных условиях.

Задача 2:

Чтобы найти скорость движения изображения предмета, приближающегося к плоскому зеркалу, используем формулу для определения скорости изображения в случае плоского зеркала.

Дано, что скорость движения зеркала составляет 1 м/с. Обозначим через \(v_1\) скорость предмета и через \(v_2\) скорость изображения. Тогда верно следующее соотношение:

\[\frac{{v_1}}{{v_2}} = \frac{{d_1}}{{d_2}}\]

где \(d_1\) - расстояние от предмета до зеркала, и \(d_2\) - расстояние от зеркала до изображения.

Так как предмет и изображение двигаются в одном направлении к зеркалу, \(d_1 = -d_2\). Знак минус указывает на то, что предмет и изображение находятся по разные стороны от зеркала.
Таким образом, получаем:

\[\frac{{v_1}}{{v_2}} = \frac{{-d_2}}{{d_2}} = -1\]

Перенося знак минус вправо, получаем:

\[v_1 = -v_2\]

Следовательно, скорость изображения в данном случае равна противоположной по знаку скорости движения зеркала. Так как плоское зеркало приближается к предмету, его скорость равна 1 м/с, значит скорость изображения составляет -1 м/с. Изображение движется в противоположном направлении относительно зеркала.