1. Какой объем детали, которую полностью погрузили в цилиндрический сосуд с 5000 см³ воды, при этом поднимая уровень

1. Объем детали, погруженной в цилиндрический сосуд, можно рассчитать по формуле:

\[V_1 = V_{\text{воды до}} + V_{\text{детали}}\]

где \(V_1\) - объем воды с погруженной деталью, \(V_{\text{воды до}}\) - объем воды до погружения детали, \(V_{\text{детали}}\) - объем детали.

Из условия задачи известно, что объем воды до погружения детали составляет 5000 см³, а при поднятии уровня жидкости на 7 см в сосуде, объем воды с деталью составляет \(V_1\). Предположим, что объем детали равен \(V_{\text{детали}}\).

Тогда формула примет вид:

\[V_1 = 5000 \, \text{см³} + V_{\text{детали}}\]

Подставляем известные значения:

\[V_1 = 5000 \, \text{см³} + V_{\text{детали}}\]

%(7,5000 см³)

Таким образом, объем детали, которую полностью погрузили в цилиндрический сосуд, при этом поднимая уровень жидкости на 7 см, составляет 7500 см³.

2. Чтобы найти высоту конуса, используем формулу:

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

где \(V_{\text{конуса}}\) - объем конуса, \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

Из условия задачи известно, что диаметр основания равен 6, а длина образующей равна 5. Для нахождения высоты конуса, необходимо найти радиус основания конуса.

Так как диаметр равен 6, то радиус будет равен половине диаметра:

\[r = \frac{6}{2} = 3\]

Теперь можем найти высоту конуса:

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot h\]

Подставляем известные значения:

\[5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot h\]

%(5,3)

Таким образом, высота конуса равна 3.

3. Чтобы найти площадь сферы, ограничивающей шар объемом 36π см³, воспользуемся формулой:

\[V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi r^3\]

где \(V_{\text{шара}}\) - объем шара, \(r\) - радиус шара.

Из условия задачи известно, что объем шара равен 36π см³. Для нахождения радиуса шара, необходимо выразить радиус из этой формулы:

\[r = \sqrt[3]{\frac{3}{4} V_{\text{шара}}}\]

Подставляем известные значения:

\[r = \sqrt[3]{\frac{3}{4} \cdot 36\pi}\]

%(3\sqrt[3]{4})

Таким образом, радиус сферы, ограничивающей шар объемом 36π см³, равен \(3\sqrt[3]{4}\).

4. Для нахождения изменения объема конуса, если увеличить радиус основания в 4 раза, используем формулу для объема конуса:

\[V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Если увеличить радиус основания в 4 раза, новый радиус будет равен \(4r\). Кроме того, длина образующей конуса остается постоянной.

Таким образом, новый объем конуса будет равен:

\[V_{\text{нового конуса}} = \frac{1}{3} \pi (4r)^2 h\]