1. Какой модуль у вектора, если его скалярный квадрат равен 20? 2. Какой острый угол у ромба, с вершинами в точках

Задача 1:
Для нахождения модуля вектора, если известен его скалярный квадрат, нам нужно извлечь квадратный корень из скалярного квадрата. В данном случае, скалярный квадрат равен 20. Итак, чтобы найти модуль вектора, выполним следующие шаги:

1. Используем формулу для скалярного квадрата вектора:
\[|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}\]

2. Подставим известное значение скалярного квадрата (в данном случае он равен 20):
\[20 = \vec{v} \cdot \vec{v}\]

3. Теперь найдем модуль вектора, извлекая квадратный корень из скалярного квадрата:
\[|\vec{v}| = \sqrt{20}\]

Окончательный ответ: Модуль вектора равен \(\sqrt{20}\).


Задача 2:
Чтобы найти острый угол ромба с заданными вершинами, мы можем использовать формулу для нахождения углов вектора из скалярного произведения. Воспользуемся следующими шагами:

1. Найдем векторы AB, AC и AD, с помощью формулы разности координат:
\(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\)
\(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}\)
\(\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A}\)

2. Найдем скалярные произведения этих векторов:
\(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{AD}\)
\(\vec{AC} \cdot \vec{AD}\)

3. Затем найдем длины векторов AB, AC и AD, используя формулу для нахождения модуля вектора:
\(|\vec{AB}| = \sqrt{\vec{AB} \cdot \vec{AB}}\)
\(|\vec{AC}| = \sqrt{\vec{AC} \cdot \vec{AC}}\)
\(|\vec{AD}| = \sqrt{\vec{AD} \cdot \vec{AD}}\)

4. Найдем острый угол ромба с помощью формулы для нахождения угла между векторами:
\(\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|}\)
где \(\theta\) - острый угол ромба.

Окончательный ответ: Острый угол ромба между сторонами AB и AC равен \(\theta\).


Задание 3:
a) Чтобы найти уравнение сферы с центром в начале координат, если плоскость x = 2 касается этой сферы, мы можем использовать формулу для уравнения сферы. Подставим известные значения и решим уравнение:

Уравнение сферы:
\((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\)

В данном случае, центр сферы находится в начале координат, поэтому \(a = 0, b = 0, c = 0\).
Также известно, что плоскость x = 2 касается сферы, поэтому \(x - a = 2\).

Подставим известные значения в уравнение:
\((2 - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 0)^2 = r^2\)

Упростим уравнение:
\[4 + y^2 + z^2 = r^2\]

Окончательный ответ: Уравнение сферы с центром в начале координат и касательной плоскостью x = 2 имеет вид \(4 + y^2 + z^2 = r^2\).

b) Чтобы найти координаты центра сферы и её радиус, когда сфера задана уравнением \(-4x + y^2 + z^2 = 0\), мы можем сравнить это уравнение с уравнением общего вида сферы и сделать соответствующие выводы:

Уравнение сферы:
\((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\)

Сравним заданное уравнение и уравнение общего вида сферы:
\(-4x + y^2 + z^2 = 0\) сравниваем с \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\)

Из сравнения мы можем сделать следующие выводы:
-4x = 0, что означает, что \(a = 0\).
y^2 = 0, что означает, что \(b = 0\).
z^2 = 0, что означает, что \(c = 0\).

Таким образом, координаты центра сферы равны: (0, 0, 0).

Теперь рассмотрим радиус сферы.
Из уравнения \(-4x + y^2 + z^2 = 0\) мы видим, что \(r^2 = 0\), это означает, что радиус сферы также равен нулю.

Окончательный ответ: Координаты центра сферы равны (0, 0, 0), а её радиус равен нулю.


Задание 4:
a) Чтобы понять, являются ли векторы \(\vec{a} = (4, 3, -6)\) и \(\vec{b} = (1, -2, 9)\) перпендикулярными, мы можем использовать свойство перпендикулярных векторов, что их скалярное произведение равно нулю. Выполним следующие шаги:

Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (4 \cdot 1) + (3 \cdot -2) + (-6 \cdot 9)\)

Вычисляем скалярное произведение:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 - 6 - 54 = -56\)

Поскольку полученное скалярное произведение \(-56\) не равно нулю, можно сделать вывод, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) не являются перпендикулярными.

b) Чтобы показать, что векторы \(\vec{a} = (1, 2p, g)\) и \(\vec{c} = (-(4p^2 + g^2), 2p, g)\) перпендикулярны, мы можем использовать свойство перпендикулярных векторов, что их скалярное произведение равно нулю. Выполним следующие шаги:

Найдем скалярное произведение векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\):
\(\vec{a} \cdot \vec{c} = (1 \cdot (-(4p^2 + g^2))) + (2p \cdot 2p) + (g \cdot g)\)

Вычисляем скалярное произведение:
\(\vec{a} \cdot \vec{c} = -(4p^2 + g^2) + 4p^2 + g^2 = 0\)

Поскольку полученное скалярное произведение равно нулю, можно сделать вывод, что векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{c}\) перпендикулярны.

Окончательный ответ:
a) Векторы \(\vec{a} = (4, 3, -6)\) и \(\vec{b} = (1, -2, 9)\) не являются перпендикулярными.
b) Векторы \(\vec{a} = (1, 2p, g)\) и \(\vec{c} = (-(4p^2 + g^2), 2p, g)\) являются перпендикулярными.