1) Какой будет четвёртый член бесконечной прогрессии, если первый член равен —54 и сумма всех членов равна —81?

Давайте решим каждую задачу по очереди.

1) Для решения задачи, мы воспользуемся формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[ S = \frac{a}{1-r} \]

где S - сумма всех членов прогрессии, a - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии.

Известно, что сумма всех членов равна -81, и первый член равен -54. Подставим эти значения в формулу:

\[ -81 = \frac{-54}{1-r} \]

Теперь решим уравнение относительно r:

\[ 1-r = \frac{-54}{-81} \]
\[ 1-r = \frac{54}{81} \]
\[ 1-r = \frac{2}{3} \]

Теперь найдем четвертый член прогрессии, используя формулу:

\[ a_4 = a \cdot r^{(4-1)} \]

Подставим значения:

\[ a_4 = -54 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 \]
\[ a_4 = -54 \cdot \frac{8}{27} \]
\[ a_4 = -16 \]

Таким образом, четвертый член бесконечной прогрессии равен -16.

2) Для решения второй задачи, мы снова воспользуемся формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии:

\[ S = \frac{a}{1-r} \]

Нам дано, что четвертый член прогрессии \( b_4 = 48 \) и шестой член прогрессии \( b_6 = 12 \). Также мы знаем, что сумма всех членов прогрессии равна S.

Для нахождения суммы прогрессии, сначала посчитаем разность между шестым и четвертым членами:

\[ b_6 - b_4 = 12 - 48 = -36 \]

Затем мы можем выразить эту разность через r:

\[ b_6 - b_4 = b_4 \cdot r^2 - b_4 = b_4 \cdot (r^2 - 1) \]

Подставим известные значения:

\[ -36 = 48 \cdot (r^2 - 1) \]

Теперь решим уравнение относительно r:

\[ r^2 - 1 = \frac{-36}{48} \]
\[ r^2 - 1 = \frac{-3}{4} \]
\[ r^2 = \frac{1}{4} \]

Таким образом, имеем два возможных значения для r: \( r = \frac{1}{2} \) или \( r = -\frac{1}{2} \).

Теперь найдем сумму всех членов прогрессии, используя формулу:

\[ S = \frac{b_4}{1-r} \]

При \( r = \frac{1}{2} \):

\[ S = \frac{48}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{48}{\frac{1}{2}} = 48 \cdot 2 = 96 \]

При \( r = -\frac{1}{2} \):

\[ S = \frac{48}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{48}{\frac{3}{2}} = 48 \cdot \frac{2}{3} = 32 \]

Таким образом, сумма представляет собой либо 96, либо 32, в зависимости от значения r.

Надеюсь, ответы понятны! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.