1) Каковы углы при основании равнобедренного треугольника, если его внешний угол при вершине составляет 68 градусов?

Конечно, я помогу вам с решением задач. Давайте начнем с первой задачи.

1) Каковы углы при основании равнобедренного треугольника, если его внешний угол при вершине составляет 68 градусов?

Для начала, давайте вспомним, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла. Поскольку внешний угол при вершине равнобедренного треугольника является дополнительным к одному из его углов при основании, мы можем найти каждый из углов при основании, вычитая внешний угол из 180 градусов.

Давайте обозначим каждый угол при основании буквами \(A\) и \(B\), а внешний угол при вершине треугольника обозначим буквой \(C\). Из условия задачи нам известно, что внешний угол при вершине равен 68 градусам.

Теперь мы можем использовать формулу для суммы углов в треугольнике, которая гласит: сумма всех углов треугольника равна 180 градусов.

\[A + B + C = 180^\circ\]

Мы знаем, что \(C = 68^\circ\), поэтому мы можем подставить это значение в уравнение:

\[A + B + 68^\circ = 180^\circ\]

Теперь, чтобы найти значения углов \(A\) и \(B\), нам нужно выразить их через оставшуюся сумму углов:

\[A + B = 180^\circ - 68^\circ\]
\[A + B = 112^\circ\]

В данном случае у нас есть равнобедренный треугольник, поэтому углы \(A\) и \(B\) равны друг другу. Мы можем разделить сумму на два, чтобы найти каждое из значений:

\[A = \frac{112^\circ}{2} = 56^\circ\]
\[B = \frac{112^\circ}{2} = 56^\circ\]

Таким образом, углы при основании равнобедренного треугольника равны 56 градусов каждый.

Теперь перейдем ко второй задаче.

2) Если внешний угол при вершине равнобедренного треугольника равен 162 градусам, то каков внутренний угол при его основании?

Подход к этой задаче аналогичен первой. Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. В данном случае внешний угол равен 162 градусам, поэтому мы можем использовать формулу для суммы углов, чтобы найти нужный нам угол при основании.

Давайте обозначим данный угол при основании буквой \(A\). Тогда у нас будет следующее уравнение:

\(A + 162^\circ + 162^\circ = 180^\circ\)

Раскроем скобки и упростим уравнение:

\(A + 324^\circ = 180^\circ\)

Вычтем 324 градуса из обеих сторон уравнения:

\(A = 180^\circ - 324^\circ\)

После вычислений получаем:

\(A = -144^\circ\)

Однако, нам нужен угол при основании равнобедренного треугольника, а угол не может быть отрицательным. Таким образом, в данном случае не существует внутреннего угла при основании равнобедренного треугольника.

Итак, ответ на вторую задачу: в данном случае не существует внутреннего угла при основании равнобедренного треугольника.