1. Каковы углы между данными векторами на рисунке куба? (Необходимо отложить векторы от одной точки) а) Какой угол

1. Хорошо, давайте рассмотрим каждый вопрос по очереди:

а) Чтобы найти угол между векторами B1B и B1C, нам нужно отложить эти векторы от одной точки. Обозначим начало вектора B1B как точку A, и отложим векторы B и C из этой точки. Затем мы можем использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{B1B} \cdot \mathbf{B1C}}}{{|\mathbf{B1B}| \cdot |\mathbf{B1C}|}}
\]

где \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов, и \(|\mathbf{B1B}|\) и \(|\mathbf{B1C}|\) - длины соответствующих векторов. Подставим значения:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}}{{|\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}|}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{0}}{{1 \times 1}} = 0
\]

Так как \(\cos(\theta) = 0\), угол между векторами B1B и B1C будет 90 градусов.

б) Для нахождения угла между векторами DA и B1D1, мы можем использовать ту же формулу, но с другими векторами:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{DA} \cdot \mathbf{B1D1}}}{{|\mathbf{DA}| \cdot |\mathbf{B1D1}|}}
\]

Подставим значения:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}}}{{|\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}|}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{-1}}{{1 \times \sqrt{2}}}
\]

\[
\cos(\theta) = -\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}
\]

Угол между векторами DA и B1D1 можно найти, используя обратный косинус:

\[
\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{{1}}{{\sqrt{2}}}\right)
\]

Похожие значения:

\[
\theta = 135^\circ
\]

в) Чтобы найти угол между векторами A1C1 и A1B1, мы можем использовать ту же формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{A1C1} \cdot \mathbf{A1B1}}}{{|\mathbf{A1C1}| \cdot |\mathbf{A1B1}|}}
\]

Подставим значения:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}}{{|\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}|}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{0}}{{1 \times 1}} = 0
\]

Так как \(\cos(\theta) = 0\), угол между векторами A1C1 и A1B1 будет 90 градусов.

г) Чтобы найти угол между векторами BC и AC, мы можем снова использовать формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{BC} \cdot \mathbf{AC}}}{{|\mathbf{BC}| \cdot |\mathbf{AC}|}}
\]

Подставим значения:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}}}{{|\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}|}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{0}}{{1 \times 1}} = 0
\]

Так как \(\cos(\theta) = 0\), угол между векторами BC и AC будет 90 градусов.

д) Вектор BB1 параллелен вектору AC в плоскости ABCDAC1B1C1D1, поэтому угол между ними будет 0 градусов.

е) Для нахождения угла между векторами B1C и AD1:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{B1C} \cdot \mathbf{AD1}}}{{|\mathbf{B1C}| \cdot |\mathbf{AD1}|}}
\]

Подставим значения:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}}}{{|\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}|}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{0}}{{1 \times \sqrt{2}}}
\]

\[
\cos(\theta) = 0
\]

Так как \(\cos(\theta) = 0\), угол между векторами B1C и AD1 будет 90 градусов.

ж) Для нахождения угла между векторами A1D1 и BC:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\mathbf{A1D1} \cdot \mathbf{BC}}}{{|\mathbf{A1D1}| \cdot |\mathbf{BC}|}}
\]

Подставим значения:

\[
\cos(\theta) = \frac{{\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}}{{|\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}|}}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{{0}}{{1 \times 1}} = 0
\]

Так как \(\cos(\theta) = 0\), угол между векторами A1D1 и BC будет 90 градусов.

з) Чтобы найти угол между векторами AA1, C1C и ABCDA1B1C1D1, нам понадобятся дополнительные сведения о расположении этих векторов. Пожалуйста, предоставьте дополнительные данные, и я смогу дать более подробный ответ.

2. Используя данные на рисунке с кубом ABCDA1B1C1D1, мы можем найти скалярное произведение векторов C1A1 и AC. Скалярное произведение векторов определяется как произведение длин этих векторов на косинус угла между ними. Поэтому:

\[
\mathbf{C1A1} \cdot \mathbf{AC} = |\mathbf{C1A1}| \cdot |\mathbf{AC}| \cdot \cos(\theta)
\]

Подставим значения:

\[
\mathbf{C1A1} \cdot \mathbf{AC} = |\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}| \cdot |\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}| \cdot \cos(\theta)
\]

\[
\mathbf{C1A1} \cdot \mathbf{AC} = \sqrt{2} \cdot 1 \cdot \cos(\theta)
\]

Таким образом, мы не можем вычислить точное значение скалярного произведения \(\mathbf{C1A1} \cdot \mathbf{AC}\) без знания значения угла \(\theta\). Пожалуйста, предоставьте дополнительные данные для расчета этого значения.

3. Между взаимным расположением двух векторов и величиной угла между ними есть следующее соответствие:

- Если векторы направлены в одном направлении (сонаправлены), то угол между ними равен 0 градусов.
- Если векторы направлены в противоположных направлениях (противоположно направлены), то угол между ними равен 180 градусов.
- Если векторы пересекаются под углом, то угол между ними будет больше 0 и меньше 180 градусов.

Надеюсь, что эти объяснения помогут вам лучше понять связь между взаимным расположением двух векторов и величиной угла между ними. Если у вас остались какие-либо дополнительные вопросы, пожалуйста, задавайте.