1. Каковы шансы, что двузначное число, выбранное случайным образом, не содержит цифры 0, 5 и 9 в его десятичной записи?

1. Шансы того, что двузначное число не содержит цифры 0, 5 и 9 в его десятичной записи можно вычислить, разделив количество "хороших" чисел на общее количество двузначных чисел.

Двузначные числа могут быть от 10 до 99 (включительно). Так как мы исключаем числа с цифрами 0, 5 и 9, нам нужно узнать, сколько чисел с этими цифрами мы должны исключить.

- Цифра 0: Двузначное число не может начинаться с 0, поэтому нам нужно исключить 9 чисел: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 и 90.
- Цифры 5 и 9: Каждая цифра второй позиции может быть одной из 9 цифр (1-4, 6-8), так как мы исключаем 0, 5 и 9. Значит, всего мы должны исключить 18 чисел: 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95, 59, 51, 52, 53, 54, 56, 57, 58 и 59.

Таким образом, мы должны исключить 9 + 18 = 27 двузначных чисел.

Общее количество двузначных чисел равно 99 - 10 + 1 = 90.

Теперь мы можем вычислить шансы, пропорциональные числу "хороших" чисел по отношению ко всем возможным числам:

\[
Шансы = \frac{{Общее~количество~двузначных~чисел - Число~исключенных~чисел}}{{Общее~количество~двузначных~чисел}} = \frac{{90 - 27}}{{90}} = \frac{{63}}{{90}}
\]

Это можно упростить, разделив числитель и знаменатель на 9:

\[
Шансы = \frac{{7}}{{10}}
\]

Таким образом, шансы того, что случайно выбранное двузначное число не содержит цифры 0, 5 и 9 в его десятичной записи, составляют \(\frac{{7}}{{10}}\).

2. Для определения вероятности того, что случайно выбранное пятизначное число начинается с двух цифр "7", мы также должны разделить число "хороших" случаев на общее количество пятизначных чисел.

У нас есть две цифры "7" и 9 других возможных цифр (0-6, 8, 9), поэтому у нас есть \(2 \times 9 = 18\) вариантов для первой позиции. Для оставшихся четырех позиций у нас есть 10 возможных цифр (0-9). Таким образом, общее количество пятизначных чисел равно \(18 \times 10^4\).

Число "хороших" случаев равно 1, так как только одна комбинация начинается с двух цифр "7".

Теперь мы можем вычислить вероятность:

\[
Вероятность = \frac{{Число~хороших~случаев}}{{Общее~количество~пятизначных~чисел}} = \frac{{1}}{{18 \times 10^4}}
\]