1. Каковы площадь полной поверхности и объем фигуры, образованной вращением прямоугольника с размерами сторон 4 см

Задача 1: Для нахождения площади полной поверхности и объема фигуры, образованной вращением прямоугольника вокруг его оси симметрии, мы будем использовать формулы, связанные с поверхностями вращения.

1. Найдем площадь полной поверхности фигуры.
При вращении прямоугольника вокруг его оси симметрии мы получим цилиндр, где длина прямоугольника станет образующей, а более короткая сторона - окружностью основания.

Площадь полной поверхности фигуры равна сумме площади боковой поверхности и площади двух оснований.

Боковая поверхность цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. Высота цилиндра равна длине прямоугольника, то есть 4 см.

Длина окружности можно найти по формуле \(2\pi r\), где \(r\) - радиус окружности. Радиус окружности равен половине длины более короткой стороны прямоугольника, то есть \(8/2 = 4\) см.

Площадь боковой поверхности цилиндра будет \(2\pi \cdot 4 \cdot 4 = 32\pi\) см².

Площадь основания цилиндра будет площадью прямоугольника, то есть \(4 \cdot 8 = 32\) см².

Таким образом, площадь полной поверхности фигуры составит \(32\pi + 32\) см².

2. Найдем объем фигуры.
Объем цилиндра можно найти по формуле \(V = \pi r^2 h\), где \(r\) - радиус окружности, а \(h\) - высота.

Радиус окружности и высоту мы уже знаем: \(r = 4\) см и \(h = 4\) см.

Подставим значения в формулу и вычислим объем:
\(V = \pi \cdot 4^2 \cdot 4 = 64\pi\) см³.

Таким образом, площадь полной поверхности фигуры составит \(32\pi + 32\) см², а объем фигуры будет равен \(64\pi\) см³.

Задача 2: Для нахождения площади полной поверхности и объема фигуры, образованной вращением прямоугольника вокруг одного из его катетов, будем использовать аналогичные формулы.

1. Найдем площадь полной поверхности фигуры.
При вращении прямоугольника вокруг одного из его катетов мы получим конус, где катет станет образующей, а гипотенуза - окружностью основания.

Площадь полной поверхности фигуры в данном случае будет состоять из площади боковой поверхности и площади основания.

Боковая поверхность конуса равна половине произведения длины окружности основания на длину образующей. Длина окружности основания равна \(2\pi r\), где \(r\) - радиус окружности, равный длине катета, а длина образующей равна гипотенузе прямоугольника, то есть 5 см.

Площадь боковой поверхности конуса будет \(\pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi\) см².

Площадь основания конуса будет площадью прямоугольника, то есть \(4 \cdot 5 = 20\) см².

Таким образом, площадь полной поверхности фигуры составит \(20\pi + 20\) см².

2. Найдем объем фигуры.
Объем конуса можно найти по формуле \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\), где \(r\) - радиус основания, а \(h\) - высота.

Радиус основания в данном случае равен длине катета, то есть 4 см, а высота равна гипотенузе, то есть 5 см.

Подставим значения в формулу и вычислим объем:
\(V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 5 = \frac{80\pi}{3}\) см³.

Таким образом, площадь полной поверхности фигуры составит \(20\pi + 20\) см², а объем фигуры будет равен \(\frac{80\pi}{3}\) см³.