Какие точки эллипса x2/16 + y2/7 = 1 находятся на одинаковом расстоянии от левого фокуса?

Чтобы решить задачу, нам нужно найти точки эллипса, которые расположены на одинаковом расстоянии от левого фокуса. Для начала, давайте найдем координаты фокусов эллипса.

Эллипс имеет общий вид уравнения \(\frac{{x^2}}{{a^2}} + \frac{{y^2}}{{b^2}} = 1\), где \(a\) и \(b\) - это полуоси эллипса.

Для данного эллипса, у нас дано уравнение: \(\frac{{x^2}}{{16}} + \frac{{y^2}}{{7}} = 1\).

Это означает, что \(a^2 = 16\) и \(b^2 = 7\). Теперь мы можем найти коэффициент \(c\), который представляет собой расстояние от центра эллипса до фокуса. Формула для нахождения \(c\) в случае эллипса выглядит так: \(c = \sqrt{{a^2 - b^2}}\).

Подставляя значения \(a^2\) и \(b^2\), получаем: \(c = \sqrt{{16 - 7}} = \sqrt{{9}} = 3\).

Итак, левый фокус находится на расстоянии 3 от центра, а правый фокус находится на том же расстоянии 3, но в противоположном направлении. Поэтому необходимо найти точки эллипса, которые находятся на расстоянии 3 от левого фокуса.

Для этого, мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости, которая выглядит следующим образом: \(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\), где \((x_1, y_1)\) - координаты левого фокуса, а \((x_2, y_2)\) - координаты точки на эллипсе.

Подставляя значения координат левого фокуса \((c, 0)\) и общего уравнения эллипса в формулу, получаем:

\(\begin{aligned} d &= \sqrt{{(x - c)^2 + (y - 0)^2}} \\ &= \sqrt{{(x - 3)^2 + y^2}} \end{aligned}\)

Теперь мы можем использовать это уравнение для определения точек эллипса, находящихся на расстоянии 3 от левого фокуса.

Подставим общее уравнение эллипса в данное уравнение и решим его относительно \(y\):

\(\begin{aligned} \frac{{x^2}}{{16}} + \frac{{y^2}}{{7}} &= 1 \\ \frac{{y^2}}{{7}} &= 1 - \frac{{x^2}}{{16}} \\ y^2 &= 7 - \frac{{7}}{{16}}x^2 \\ y &= \pm \sqrt{{7 - \frac{{7}}{{16}}x^2}} \end{aligned}\)

Теперь, подставим найденное значение \(y\) в уравнение расстояния и решим его относительно \(x\):

\(\begin{aligned} d &= \sqrt{{(x - 3)^2 + \left(\pm \sqrt{{7 - \frac{{7}}{{16}}x^2}}\right)^2}} \\ &= \sqrt{{(x - 3)^2 + 7 - \frac{{7}}{{16}}x^2}} \\ &= \sqrt{{x^2 - 6x + 9 + 7 - \frac{{7}}{{16}}x^2}} \\ &= \sqrt{{-\frac{{9}}{{16}}x^2 - 6x + 16}} \end{aligned}\)

Теперь, чтобы найти точки эллипса, находящиеся на расстоянии 3 от левого фокуса, нужно решить уравнение:

\(\sqrt{{-\frac{{9}}{{16}}x^2 - 6x + 16}} = 3\).

Здесь нам необходимо быть аккуратными. Мы возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\(\begin{aligned} -\frac{{9}}{{16}}x^2 - 6x + 16 &= 3^2 \\ -\frac{{9}}{{16}}x^2 - 6x + 16 &= 9 \\ -9x^2 - 96x + 144 &= 144 \end{aligned}\)

Убираем нули с обоих сторон:

\(-9x^2 - 96x = 0\)

Теперь факторизуем уравнение:

\(-9x(x + 11) = 0\)

Получается два решения:

\(x_1 = 0\) и \(x_2 = -11\).

Теперь, помещаем каждое значение \(x\) в уравнение:

При \(x = 0\):

\(\begin{aligned} y &= \pm \sqrt{{7 - \frac{{7}}{{16}}(0)^2}} \\ &= \pm \sqrt{{7}} \end{aligned}\)

То есть две точки на эллипсе при \(x = 0\) являются \((0, \sqrt{{7}})\) и \((0, -\sqrt{{7}})\).

При \(x = -11\):

\(\begin{aligned} y &= \pm \sqrt{{7 - \frac{{7}}{{16}}(-11)^2}} \\ &= \pm \sqrt{{7 - \frac{{7}}{{16}}(121)}} \\ &= \pm \sqrt{{7 - \frac{{847}}{{16}}}} \\ &= \pm \sqrt{{7 - \frac{{53}}{{2}}}} \\ &= \pm \sqrt{{7 - 26.5}} \\ &= \pm \sqrt{{-19.5}} \end{aligned}\)

Здесь мы видим, что выражение под корнем отрицательно, что означает, что точки с координатами \((-11, \pm \sqrt{{-19.5}})\) не находятся на эллипсе.

Итак, точки эллипса, которые находятся на одинаковом расстоянии 3 от левого фокуса, являются \((0, \sqrt{{7}})\) и \((0, -\sqrt{{7}})\).