1. Каковы площадь и периметр равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна 13 см, а медиана, проведенная

Конечно, я могу помочь с этими задачами. Давайте решим их по очереди:

1. Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойство равнобедренного треугольника, согласно которому биссектриса треугольника делит основание на две равные части. Площадь равнобедренного треугольника можно вычислить, используя формулу \(S = \frac{{h \cdot a}}{{2}}\), где \(h\) - высота треугольника, а \(a\) - длина одного из двух одинаковых оснований. Периметр равнобедренного треугольника можно вычислить, используя формулу \(P = a + 2b\), где \(a\) - длина основания, а \(b\) - длина одной из боковых сторон.

Для данной задачи мы знаем, что боковая сторона равна 13 см, а медиана, проведенная к основанию, равна 5 см. Поскольку медиана делит основание на две равные части, основание равно \(2 \cdot 5 = 10\) см. Используя формулы для площади и периметра равнобедренного треугольника, мы можем вычислить их значения:

Периметр:
\[P = 10 + 2 \cdot 13 = 10 + 26 = 36 \text{ см}\]

Площадь:
\[S = \frac{{5 \cdot 10}}{2} = \frac{{50}}{2} = 25 \text{ см}^2\]

Таким образом, площадь равнобедренного треугольника равна 25 квадратных сантиметров, а периметр - 36 сантиметров.

2. Для нахождения периметра и площади ромба нам понадобится знать длины его диагоналей. Периметр ромба можно вычислить, используя формулу \(P = 4a\), где \(a\) - длина любой стороны ромба. Площадь ромба можно вычислить, используя формулу \(S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2}\), где \(d_1\) и \(d_2\) - длины диагоналей ромба.

Для данной задачи мы знаем, что диагонали ромба равны 8 см и 6 см. Тогда:

Периметр:
\[P = 4a\]
Поскольку все стороны ромба равны между собой, длина любой стороны будет равна половине периметра:
\[P = 4 \cdot \frac{{8+6}}{2} = 4 \cdot 7 = 28 \text{ см}\]

Площадь:
\[S = \frac{{d_1 \cdot d_2}}{2}\]
\[S = \frac{{8 \cdot 6}}{2} = 24 \text{ см}^2\]

Таким образом, периметр ромба равен 28 сантиметров, а площадь - 24 квадратных сантиметра.

3. Чтобы найти площадь трапеции, мы можем использовать формулу \(S = \frac{{(a+b) \cdot h}}{2}\), где \(a\) и \(b\) - длины оснований трапеции, а \(h\) - высота трапеции.

Для данной задачи мы знаем, что основания трапеции \(AD\) и \(BC\) имеют длины 27 см и 13 см соответственно, длина стороны \(CD\) равна 10 см, а угол \(D\) равен 30 градусов. Для начала, нам необходимо найти высоту трапеции. Мы можем использовать теорему косинусов для этого:

\[CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(D)\]
\[10^2 = AC^2 + 27^2 - 2 \cdot AC \cdot 27 \cdot \cos(30^\circ)\]

Для упрощения расчетов, заменим \(\cos(30^\circ)\) на \(\frac{{\sqrt{3}}}{2}\):

\[100 = AC^2 + 27^2 - 2 \cdot AC \cdot 27 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{2}\]

Из этого уравнения мы можем найти значение \(AC\). Подставим его в формулу для площади трапеции:

\[S = \frac{{(27 + AC) \cdot h}}{2}\]

Теперь, когда мы знаем значения оснований и высоты трапеции, мы можем рассчитать площадь:

\[S = \frac{{(27 + AC) \cdot h}}{2}\]

4. Для нахождения длины отрезков \(CM\) и \(DM\) нам понадобятся свойства прямоугольного треугольника. Для начала, нам необходимо найти длину \(CD\). Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[CD^2 = AC^2 + AD^2\]
\[CD^2 = 27^2 + 10^2\]
\[CD^2 = 729 + 100\]
\[CD^2 = 829\]
\[CD = \sqrt{829}\]

Теперь мы можем найти длины отрезков \(CM\) и \(DM\). Поскольку линия, проведенная из вершины прямого угла к середине гипотенузы, является высотой прямоугольного треугольника, высота будет делить гипотенузу, \(CD\), пополам.

\[CM = \frac{1}{2} \cdot CD\]
\[DM = \frac{1}{2} \cdot CD\]

5. Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать теорему об описанной окружности прямоугольного треугольника. Согласно этой теореме, диаметр описанной окружности является гипотенузой треугольника, а центр окружности находится в середине гипотенузы.

Таким образом, мы можем найти центр окружности, используя середину гипотенузы, и радиус окружности, используя половину гипотенузы.

Я надеюсь, что эти подробные объяснения помогут школьнику лучше понять решение данных задач. Если остались какие-либо вопросы или вы хотели бы более детальных пояснений, не стесняйтесь задавать.