1) Каковы координаты точки b, если точки a(-3, 5, -7) и c(6, 2, -1) симметричны относительно нее? 2) Найдите значение

Решение:

1) Чтобы найти координаты точки b, мы можем использовать симметричность точек a и c относительно точки b.

Симметричность означает, что расстояния между точкой a и b и между точкой b и c равны.

Таким образом, можно записать следующую систему уравнений:

\[
\begin{cases}
x_b - (-3) = 6 - x_b \\
y_b - 5 = 2 - y_b \\
z_b - (-7) = -1 - z_b \\
\end{cases}
\]

Решим эту систему уравнений по очереди:

Для x-координаты:
\(x_b + 3 = 6 - x_b\)

Перенесем \(x_b\) влево и вправо:

\(2x_b = 6 - 3\)

\(2x_b = 3\)

\(x_b = \frac{3}{2}\)

Для y-координаты:
\(y_b - 5 = 2 - y_b\)

Перенесем \(y_b\) влево и вправо:

\(2y_b = 2 + 5\)

\(2y_b = 7\)

\(y_b = \frac{7}{2}\)

Для z-координаты:
\(z_b + 7 = -1 - z_b\)

Перенесем \(z_b\) влево и вправо:

\(2z_b = -1 - 7\)

\(2z_b = -8\)

\(z_b = -4\)

Итак, координаты точки b: \(b\left(\frac{3}{2}, \frac{7}{2}, -4\right)\)

2) Для нахождения значения \(m\) в выражении \(m = -3\mathbf{a} + 2\mathbf{b}\), мы заменяем векторы a и b и выполняем вычисления.

Дано: \(\mathbf{a} = (3, -2, -1)\) и \(\mathbf{b} = (1, 2, 4)\)

Подставим значения в выражение:

\(m = -3(3, -2, -1) + 2(1, 2, 4)\)

Выполним умножение и сложение векторов:

\(m = (-9, 6, 3) + (2, 4, 8)\)

\(m = (-7, 10, 11)\)

Таким образом, \(m = (-7, 10, 11)\)

Чтобы найти косинус угла между векторами a и b, мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов:

\[
\cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{\|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\|}
\]

Где \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) - скалярное произведение векторов, \(\|\mathbf{a}\|\) и \(\|\mathbf{b}\|\) - длины векторов a и b соответственно.

Выполним необходимые вычисления:

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot 2 + (-1) \cdot 4\)

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 - 4 - 4\)

\(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -5\)

\(\|\mathbf{a}\| = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}\)

\(\|\mathbf{b}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}\)

Теперь мы можем подставить значения в формулу для косинуса угла:

\(\cos(\theta) = \frac{-5}{\sqrt{14} \sqrt{21}}\)

Таким образом, косинус угла между векторами a и b равен \(\frac{-5}{\sqrt{14} \sqrt{21}}\)