1. Каковы координаты точек пересечения графика функции y = 3x – x3 и касательной линии, проходящей через точку

Задача 1:

Для начала найдем точки пересечения графика функции \(y = 3x - x^3\) с координатной плоскостью. Для этого приравняем функцию к нулю и решим уравнение:

\[3x - x^3 = 0\]

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[x^3 - 3x = 0\]

Теперь факторизуем это уравнение:

\[x(x^2 - 3) = 0\]

Таким образом, получаем два возможных значения x: \(x_1 = 0\) и \(x_2 = \sqrt{3}\). Подставим эти значения в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

Для \(x_1 = 0\):

\[y = 3(0) - (0)^3 = 0\]

Для \(x_2 = \sqrt{3}\):

\[y = 3(\sqrt{3}) - (\sqrt{3})^3 \approx 1.392\]

Теперь найдем уравнение касательной линии, проходящей через точку \(P(0, 16)\). Для этого воспользуемся формулой для уравнения касательной, которое имеет вид:

\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

где \((x_1, y_1)\) - точка, через которую проходит касательная, а \(m\) - ее угловой коэффициент.

Так как касательная проходит через \((0, 16)\), то \(x_1 = 0\) и \(y_1 = 16\). Нам также нужно найти угловой коэффициент \(m\), который будет равен производной функции в точке \(x_1\), то есть:

\[m = y"(x_1)\]

Найдем производную функции \(y = 3x - x^3\):

\[y" = 3 - 3x^2\]

Теперь подставим \(x_1 = 0\) в формулу производной и найдем \(m\):

\[m = 3 - 3(0)^2 = 3\]

Теперь мы имеем все необходимые данные для записи уравнения касательной линии:

\[y - 16 = 3(x - 0)\]

Получаем итоговое уравнение:

\[y = 3x + 16\]

Итак, координаты точек пересечения графика функции \(y = 3x - x^3\) и касательной линии, проходящей через точку \(P(0, 16)\), равны:

Первая точка: \(A(0, 0)\)
Вторая точка: \(B(\sqrt{3}, 1.392)\)
Уравнение касательной линии: \(y = 3x + 16\)

Задача 2:

Чтобы найти наименьшее расстояние между параболой \(y = x^2 + 6x + 10\) и прямой, нужно сначала найти точку пересечения между ними.

Для этого приравняем параболу к прямой и решим уравнение:

\[x^2 + 6x + 10 = mx + c\]

где \(m\) - угловой коэффициент прямой, \(c\) - свободный член, \(x\) - точка пересечения по оси абсцисс (горизонтальная ось).

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[x^2 + (6-m)x + (10-c) = 0\]

Теперь, чтобы найти точку пересечения \(x\), решим это уравнение. Однако, для нахождения наименьшего расстояния, у нас возьмется производная \(y = x^2 + 6x + 10\) и приравняется к нулю, так как наименьшее расстояние будет соответствовать где её производная будет равна нулю.

Получаем производную параболы:

\[y" = 2x + 6\]

Решим уравнение \(2x + 6 = 0\) чтобы найти вертикальную координату точки пересечения \(x\):

\[x = -3\]

Теперь найдем соответствующее \(y\) подставив \(x\) в исходное уравнение:

\[y = (-3)^2 + 6(-3) + 10 = 1\]

Таким образом, точка пересечения параболы и прямой равна \(C(-3, 1)\).

Теперь нам нужно найти расстояние между этой точкой и параболой. Для этого воспользуемся формулой расстояния между точками:

\[d = \sqrt{ (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 }\]

где \((x_1, y_1)\) - координаты точки на параболе, \((x_2, y_2)\) - координаты точке на прямой.

Подставим значения и посчитаем:

\[d = \sqrt{((-3)-(0))^2 + ((1)-(0))^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}\]

Таким образом, наименьшее расстояние между параболой \(y = x^2 + 6x + 10\) и прямой равно \(\sqrt{10}\).