1) Каковы длины отрезков первой хорды, если она пересекает другую хорду и делит ее на отрезки длиной 4 см и 9

Для решения задачи посмотрим на основные свойства хорд, а именно:

1) Если хорда пересекает другую хорду (внутри окружности), то произведение длин отрезков каждой хорды будет одинаково. Давайте обозначим отрезки первой хорды как \(x\) и \(y\), а отрезки второй хорды как \(4\) см и \(9\) см. Тогда можем записать уравнение:

\[x \cdot y = 4 \cdot 9\]

Для определения длин отрезков первой хорды решим это уравнение. Учитывая, что \(x\) и \(y\) являются длинами отрезков, найденные значения должны быть положительными.

2) Если точка пересечения хорд делит одну хорду в отношении \(a:b\), а другую в отношении \(c:d\), то отношение длин отрезков первой хорды будет равно отношению произведения длин точек пересечения и отрезков хорд. В нашей задаче первая хорда делится в отношении \(3:16\), а вторая хорда делится на отрезки длиной \(12\) см и \(18\) см.

По формуле:

\[\frac{x}{y} = \frac{(a \cdot c)}{(b \cdot d)}\]

выразим длины отрезков первой хорды.

Решение задачи:

1) Используя уравнение \(x \cdot y = 4 \cdot 9\), найдем значения \(x\) и \(y\):

\[x \cdot y = 36\]

Возможными комбинациями длин отрезков для первой хорды являются:

\(x = 1\) см и \(y = 36\) см,
\(x = 2\) см и \(y = 18\) см,
\(x = 3\) см и \(y = 12\) см,
\(x = 4\) см и \(y = 9\) см,
\(x = 6\) см и \(y = 6\) см.

2) Используя формулу \(\frac{x}{y} = \frac{(a \cdot c)}{(b \cdot d)}\), найдем значения \(x\) и \(y\):

\[\frac{x}{y} = \frac{(3 \cdot 12)}{(16 \cdot 18)}\]

Выполнив простые вычисления, получим:

\[\frac{x}{y} = \frac{1}{24}\]

Один из вариантов значений для длин отрезков первой хорды:

\(x = 1\) см и \(y = 24\) см.

Помните, что определенные значения длин отрезков первой хорды были найдены на основе данных, предоставленных в задаче. Возможны и другие комбинации значений в зависимости от ограничений, указанных в условии задачи.