1. Каково уравнение окружности с центром в точке a (-5; 3), проходящей через точку b (2; -1)? 2. Каково уравнение

Решение:

1. Чтобы найти уравнение окружности с центром в точке \(a(-5; 3)\), проходящей через точку \(b(2; -1)\), нам понадобятся два параметра: радиус \(r\) и координаты центра окружности \((h, k)\).

Первым шагом найдем радиус \(r\) с помощью расстояния между точками \(a\) и \(b\):

\[r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]
\[r = \sqrt{(2 - (-5))^2 + (-1 - 3)^2}\]
\[r = \sqrt{49 + 16}\]
\[r = \sqrt{65}\]

Теперь мы можем использовать радиус \(r\) и координаты центра \((h, k)\) для получения уравнения окружности:

\[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\]
\[(x + 5)^2 + (y - 3)^2 = 65\]

2. Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку \(b(-2; 4)\), нам понадобятся два параметра: угловой коэффициент \(m\) и свободный член \(b\).

Угловой коэффициент \(m\) можно найти, используя координаты двух точек:

\[m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\]
\[m = \dfrac{4 - 0}{-2 - 0}\]
\[m = \dfrac{4}{-2}\]
\[m = -2\]

Теперь мы можем использовать угловой коэффициент \(m\) и координаты точки \(b(-2; 4)\) для получения уравнения прямой в форме \(y = mx + b\):

\[y = -2x + b\]

Для того, чтобы найти свободный член \(b\), подставим координаты точки \(b(-2; 4)\):

\[4 = -2 \cdot (-2) + b\]
\[4 = 4 + b\]
\[b = 0\]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку \(b(-2; 4)\), равно \(y = -2x\).

3. Чтобы определить взаимное расположение прямой \(x = -5\) и окружности с уравнением \((x - 7)^2 + (y - 6)^2 = 81\), нужно проанализировать их графическое представление.

Уравнение прямой \(x = -5\) означает, что прямая параллельна оси \(y\) и проходит через точку с \(x = -5\). Она представляет собой вертикальную линию на координатной плоскости.

Окружность с уравнением \((x - 7)^2 + (y - 6)^2 = 81\) имеет центр в точке \((7, 6)\) и радиус 9. Мы можем нарисовать эту окружность на графике.

Когда мы нарисуем прямую \(x = -5\) и окружность на координатной плоскости, мы увидим, что они не пересекаются. Прямая проходит сбоку от окружности, не касаясь ее. Таким образом, точка пересечения между прямой и окружностью отсутствует.

Итак, взаимное расположение прямой \(x = -5\) и окружности \((x - 7)^2 + (y - 6)^2 = 81\) - это то, что они не пересекаются.

Я надеюсь, что данное решение понятно для вас. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!