1. Каково уравнение движения x=x(t), если начальная координата точки x_0=7 м и скорость материальной точки изменяется

1. Задача:
Мы знаем, что скорость материальной точки можно найти, взяв производную от уравнения x(t). Таким образом:
\[v(t) = \frac{dx(t)}{dt}\]
В данной задаче у нас задано выражение для скорости, \(v = 2 + 3.5t\). Давайте возьмем производную этого выражения по времени:
\[\frac{dv}{dt} = 2 + 3.5t\]
Теперь нам нужно найти уравнение движения x(t). Для этого мы должны проинтегрировать уравнение для скорости:
\[\int dv = \int (2 + 3.5t) dt\]
Интегрируя выражение, получим:
\[v = 2t + \frac{3.5t^2}{2} + C\]
где C - постоянная интегрирования. Теперь мы знаем выражение для скорости от времени. Чтобы найти уравнение движения, нам нужно проинтегрировать еще раз:
\[\int v dt = \int (2t + \frac{3.5t^2}{2} + C) dt\]
После интегрирования получим:
\[x = t^2 + \frac{3.5t^3}{6} + Ct + D\]
где D - другая постоянная интегрирования. Мы также знаем начальное положение x_0, которое равно 7 м, когда t = 0. Подставим эти значения и найдем постоянные C и D:
\[7 = 0 + 0 + 0 + D\]
\[D = 7\]
Поэтому уравнение движения будет иметь вид:
\[x = t^2 + \frac{3.5t^3}{6} + Ct + 7\]
Таким образом, мы получили уравнение движения x(t) для данной задачи.

2. Задача:
Для построения графика \(v_x\) от \(t\) для равноускоренного движения тела сначала нужно найти уравнение для \(v_x\).

Мы знаем, что равноускоренное движение описывает законом:
\[v(t) = v_0 + at\]
где \(v_0\) - начальная скорость, \(a\) - ускорение и \(t\) - время.

В данной задаче у нас задано, что скорость тела начинается с 1 м/с (\(v_0 = 1\ м/с\)). Затем скорость увеличивается до 3 м/с через 4 секунды (\(v = 3\ м/с\), \(t = 4\ сек\)). Мы можем найти ускорение, используя формулу:
\[a = \frac{v - v_0}{t}\]
Подставим значения:
\[a = \frac{3\ м/с - 1\ м/с}{4\ сек} = \frac{2\ м/с}{4\ сек} = 0.5\ м/с^2\]
Теперь мы можем найти уравнение для \(v_x\):
\[v_x(t) = 1\ м/с + 0.5\ м/с^2 \cdot t\]

Чтобы найти ускорение, можно также использовать график \(v_x\) от \(t\). Ускорение равно тангенсу угла наклона графика. У нас есть две точки на графике: (0, 1) и (4, 3). Мы можем найти угол наклона, используя разность значений y и разность значений x:
\[\text{Угол наклона} = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3 - 1}{4 - 0} = \frac{2}{4} = 0.5\ м/с^2\]
Это подтверждает, что наше ускорение - 0.5 м/с^2.

Чтобы найти перемещение тела за 2 секунды, мы можем использовать площадь под графиком на интервале от 0 до 2 секунды. Найдем площадь трапеции (обозначим ее как S):
\[S = \frac{1}{2} (v_1 + v_2) \cdot t\]
где \(v_1\) и \(v_2\) - значения скорости на концах интервала времени, а \(t\) - длительность интервала времени.

В нашем случае, \(t = 2\ сек\) и \(v_1 = 1\ м/с\), \(v_2 = v_x(2\ сек)\). Подставим значения и найдем площадь:
\[S = \frac{1}{2} (1\ м/с + 0.5\ м/с^2 \cdot 2\ сек) \cdot 2\ сек = \frac{1}{2} \cdot (1\ м/с + 1\ м/с) \cdot 2\ сек = 2\ м\]

Таким образом, ускорение тела составляет 0.5 м/с^2, а перемещение за 2 секунды равно 2 метра.

3. Задача:
Из графика зависимости \(v_x\) от \(t\) мы можем получить информацию о начальной скорости \(v_{0x}\), ускорении \(a_x\) и перемещении за первые 4 секунды \(x\).

а) Начальная скорость \(v_{0x}\) является значением \(v_x\) при \(t = 0\). Из графика we знаем, что \(v_x\) начинается с 1 м/с при \(t = 0\). Следовательно, проекция начальной скорости \(v_{0x}\) равна 1 м/с.

б) Ускорение \(a_x\) равняется тангенсу угла наклона графика \(v_x\) от \(t\). Мы можем найти угол наклона, используя разность значений y и разность значений x на графике. Так как у нас нет конкретных значений на графике, мы не можем найти точное значение \(a_x\), но мы можем определить его приблизительные размеры из вида графика.

в) Для вычисления перемещения за первые 4 секунды движения мы можем найти площадь под графиком \(v_x\) в этом интервале времени. Так как у нас нет конкретных значений \(v_x\) на графике, мы не можем точно найти площадь.
Однако, мы можем приближенно определить перемещение, если мы предположим, что график \(v_x\) является прямой линией. В этом случае, площадь под графиком будет прямоугольником со сторонами \(v_x\) и \(t\). У нас есть \(v_x = 3\ м/с\) и \(t = 4\ сек\), поэтому приближенное перемещение будет равно:
\[x \approx v_x \cdot t = 3\ м/с \cdot 4\ сек = 12\ метров\]

Таким образом, из графика, мы можем приближенно определить, что начальная скорость \(v_{0x}\) равна 1 м/с, ускорение \(a_x\) - это тангенс угла наклона графика, и приближенное перемещение за первые 4 секунды движения составляет 12 метров.