1. Каково уравнение движения x=x(t), если начальная координата точки x_0=7 м и скорость материальной точки изменяется

1. Задача:
Мы знаем, что скорость материальной точки можно найти, взяв производную от уравнения x(t). Таким образом:
$$v(t)=\frac{dx(t)}{dt}$$
В данной задаче у нас задано выражение для скорости, $v=2+3.5t$. Давайте возьмем производную этого выражения по времени:
$$\frac{dv}{dt}=2+3.5t$$
Теперь нам нужно найти уравнение движения x(t). Для этого мы должны проинтегрировать уравнение для скорости:
$$\int dv=\int (2+3.5t)dt$$
Интегрируя выражение, получим:
$$v=2t+\frac{3.5t^2}{2}+C$$
где C - постоянная интегрирования. Теперь мы знаем выражение для скорости от времени. Чтобы найти уравнение движения, нам нужно проинтегрировать еще раз:
$$\int vdt=\int (2t+\frac{3.5t^2}{2}+C)dt$$
После интегрирования получим:
$$x=t^2+\frac{3.5t^3}{6}+Ct+D$$
где D - другая постоянная интегрирования. Мы также знаем начальное положение x_0, которое равно 7 м, когда t = 0. Подставим эти значения и найдем постоянные C и D:
$$7=0+0+0+D$$
$$D=7$$
Поэтому уравнение движения будет иметь вид:
$$x=t^2+\frac{3.5t^3}{6}+Ct+7$$
Таким образом, мы получили уравнение движения x(t) для данной задачи.

2. Задача:
Для построения графика $v_x$ от $t$ для равноускоренного движения тела сначала нужно найти уравнение для $v_x$.

Мы знаем, что равноускоренное движение описывает законом:
$$v(t)=v_0+at$$
где $v_0$ - начальная скорость, $a$ - ускорение и $t$ - время.

В данной задаче у нас задано, что скорость тела начинается с 1 м/с ($v_0=1м/с$). Затем скорость увеличивается до 3 м/с через 4 секунды ($v=3м/с$, $t=4сек$). Мы можем найти ускорение, используя формулу:
$$a=\frac{v-v_0}{t}$$
Подставим значения:
$$a=\frac{3м/с-1м/с}{4сек}=\frac{2м/с}{4сек}=0.5м/{с}^2$$
Теперь мы можем найти уравнение для $v_x$:
$$v_x(t)=1м/с+0.5м/{с}^2\cdot t$$

Чтобы найти ускорение, можно также использовать график $v_x$ от $t$. Ускорение равно тангенсу угла наклона графика. У нас есть две точки на графике: (0, 1) и (4, 3). Мы можем найти угол наклона, используя разность значений y и разность значений x:
$$\text{Угол наклона}=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{3-1}{4-0}=\frac{2}{4}=0.5м/{с}^2$$
Это подтверждает, что наше ускорение - 0.5 м/с^2.

Чтобы найти перемещение тела за 2 секунды, мы можем использовать площадь под графиком на интервале от 0 до 2 секунды. Найдем площадь трапеции (обозначим ее как S):
$$S=\frac{1}{2}(v_1+v_2)\cdot t$$
где $v_1$ и $v_2$ - значения скорости на концах интервала времени, а $t$ - длительность интервала времени.

В нашем случае, $t=2сек$ и $v_1=1м/с$, $v_2=v_x(2сек)$. Подставим значения и найдем площадь:
$$S=\frac{1}{2}(1м/с+0.5м/{с}^2\cdot 2сек)\cdot 2сек=\frac{1}{2}\cdot (1м/с+1м/с)\cdot 2сек=2м$$

Таким образом, ускорение тела составляет 0.5 м/с^2, а перемещение за 2 секунды равно 2 метра.

3. Задача:
Из графика зависимости $v_x$ от $t$ мы можем получить информацию о начальной скорости $v_{0x}$, ускорении $a_x$ и перемещении за первые 4 секунды $x$.

а) Начальная скорость $v_{0x}$ является значением $v_x$ при $t=0$. Из графика we знаем, что $v_x$ начинается с 1 м/с при $t=0$. Следовательно, проекция начальной скорости $v_{0x}$ равна 1 м/с.

б) Ускорение $a_x$ равняется тангенсу угла наклона графика $v_x$ от $t$. Мы можем найти угол наклона, используя разность значений y и разность значений x на графике. Так как у нас нет конкретных значений на графике, мы не можем найти точное значение $a_x$, но мы можем определить его приблизительные размеры из вида графика.

в) Для вычисления перемещения за первые 4 секунды движения мы можем найти площадь под графиком $v_x$ в этом интервале времени. Так как у нас нет конкретных значений $v_x$ на графике, мы не можем точно найти площадь.
Однако, мы можем приближенно определить перемещение, если мы предположим, что график $v_x$ является прямой линией. В этом случае, площадь под графиком будет прямоугольником со сторонами $v_x$ и $t$. У нас есть $v_x=3м/с$ и $t=4сек$, поэтому приближенное перемещение будет равно:
$$x\approx v_x\cdot t=3м/с\cdot 4сек=12метров$$

Таким образом, из графика, мы можем приближенно определить, что начальная скорость $v_{0x}$ равна 1 м/с, ускорение $a_x$ - это тангенс угла наклона графика, и приближенное перемещение за первые 4 секунды движения составляет 12 метров.