1) Каково расстояние между прямыми EF и CD в геометрии плоскости квадрата ABEF и ромба ABCD, если известно

Для вычисления расстояния между прямыми EF и CD в геометрии плоскости квадрата ABEF и ромба ABCD, используем следующие шаги.

1) Найдем уравнения обеих прямых.

Прямая CD проходит через точку C(0, 0) и имеет угол C, равный 60°. Значит, у нее угловой коэффициент равен \(\tan(60°) = \sqrt{3}\) (используем тригонометрический тангенс).

Таким образом, уравнение прямой CD можно записать в виде \(y = \sqrt{3}x\).

Прямая EF также проходит через через точку E(1, 0) и имеет перпендикулярность с прямой CD, поэтому ее угловой коэффициент равен \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) (перпендикулярные прямые имеют противоположные обратные угловые коэффициенты).

Таким образом, уравнение прямой EF можно записать в виде \(y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + b\).

2) Найдем значение параметра b, подставив координаты точки E(1, 0) в уравнение прямой EF.

\[0 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot 1 + b\]
\[b = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Таким образом, уравнение прямой EF примет вид: \(y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}}\).

3) Найдем точку пересечения прямых EF и CD, решив систему уравнений.

\[\begin{cases} y = \sqrt{3}x \\ y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}} \end{cases}\]

Чтобы найти точку пересечения, приравняем значения y:

\[\sqrt{3}x = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Сократим обе части уравнения на \(x\sqrt{3}\):

\[\sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Складываем дроби:

\[\sqrt{3} = 0\]

Такого уравнения не существует. Отсутствует точка пересечения прямых EF и CD.

4) Поскольку прямые EF и CD не пересекаются, расстояние между ними равно расстоянию от параллельной прямой, проведенной через точку C, до прямой EF.

Для этого можно найти перпендикуляр от точки C до прямой EF и измерить длину этого перпендикуляра.

Это расстояние можно рассчитать по формуле:
\[d = \frac{\left|A\cdot x_0 + B\cdot y_0 + C\right|}{{\sqrt{A^2 + B^2}}}\]

где \(A\), \(B\), \(C\) - коэффициенты уравнения прямой EF, \(x_0\), \(y_0\) - координаты точки C.

\[A = -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad B = 1, \quad C = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad x_0 = 0, \quad y_0 = 0\]

Подставим значения и рассчитаем расстояние:

\[d = \frac{\left|\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\cdot0 + 1\cdot0 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right|}{{\sqrt{\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1^2}}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{1}{3} + 1}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}\]

Итак, расстояние между прямыми EF и CD равно \(\frac{1}{2}\).