1) Каково отношение значений sin 10П/9 и sin 12П/11? 2) Чему равны ctg(-7П/18) и ctg(-3П/7)?

1) Чтобы найти отношение значений \(\sin \frac{{10\pi}}{{9}}\) и \(\sin \frac{{12\pi}}{{11}}\), мы можем использовать свойство тригонометрических функций, именно соотношение противоположности. Это соотношение утверждает, что \(\sin(\pi - x) = \sin x\). Также нам известно, что \(\sin(\pi + x) = -\sin x\).

Первым шагом найдем принадлежность данных углов. Угол \(\frac{{10\pi}}{{9}}\) больше, чем \(\pi\), но меньше, чем \(2\pi\). Значит, он находится в четверти \(Q2\) на координатной плоскости (картинка полукруга). Аналогично, угол \(\frac{{12\pi}}{{11}}\) находится в третьей четверти \(Q3\).

Теперь применяем соотношение противоположности. Углы \(\frac{{\pi}}{{2}} - \frac{{2\pi}}{{9}}\) и \(\frac{{\pi}}{{2}} + \frac{{\pi}}{{11}}\) будут соответствовать нашим исходным углам \(\frac{{10\pi}}{{9}}\) и \(\frac{{12\pi}}{{11}}\) соответственно.

Перейдем к вычислениям.
Для \(\frac{{10\pi}}{{9}}\) имеем:
\(\sin \frac{{10\pi}}{{9}} = \sin(\frac{{\pi}}{{2}} - \frac{{2\pi}}{{9}}) = \sin(\frac{{2\pi}}{{9}}) = \sin(\frac{{4\pi}}{{9}})\), так как \(\sin(\pi + x) = -\sin x\).

Теперь для \(\frac{{12\pi}}{{11}}\):
\(\sin \frac{{12\pi}}{{11}} = \sin(\frac{{\pi}}{{2}} + \frac{{\pi}}{{11}}) = \sin(\frac{{12\pi}}{{22}}) = \sin(\frac{{2\pi}}{{11}})\), так как \(\sin(\pi - x) = \sin x\).

Таким образом, мы получаем, что отношение значений \(\sin \frac{{10\pi}}{{9}}\) и \(\sin \frac{{12\pi}}{{11}}\) равно:
\[\frac{{\sin(\frac{{4\pi}}{{9}})}}{{\sin(\frac{{2\pi}}{{11}})}}\]

2) Чтобы найти значения \(\operatorname{ctg}(-\frac{{7\pi}}{{18}})\) и \(\operatorname{ctg}(-\frac{{3\pi}}{{7}})\), мы можем использовать определение ctg, которое гласит: \(\operatorname{ctg} x = \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\).

Для \(-\frac{{7\pi}}{{18}}\) имеем:
\(\operatorname{ctg}(-\frac{{7\pi}}{{18}}) = \frac{{\cos(-\frac{{7\pi}}{{18}})}}{{\sin(-\frac{{7\pi}}{{18}})}}\).

Так как тригонометрические функции являются четными или нечетными, мы можем заметить следующую закономерность:
\(\cos(-x) = \cos(x)\)
\(\sin(-x) = -\sin(x)\)

Применив эти свойства, получим:
\(\operatorname{ctg}(-\frac{{7\pi}}{{18}}) = \frac{{\cos(\frac{{7\pi}}{{18}})}}{{-\sin(\frac{{7\pi}}{{18}})}}\).

Теперь рассмотрим \(-\frac{{3\pi}}{{7}}\):
\(\operatorname{ctg}(-\frac{{3\pi}}{{7}}) = \frac{{\cos(-\frac{{3\pi}}{{7}})}}{{\sin(-\frac{{3\pi}}{{7}})}}\).
Применив свойства тригонометрических функций, получим:
\(\operatorname{ctg}(-\frac{{3\pi}}{{7}}) = \frac{{\cos(\frac{{3\pi}}{{7}})}}{{-\sin(\frac{{3\pi}}{{7}})}}\).

Таким образом, мы получаем, что значения \(\operatorname{ctg}(-\frac{{7\pi}}{{18}})\) и \(\operatorname{ctg}(-\frac{{3\pi}}{{7}})\) равны:
\[\frac{{\cos(\frac{{7\pi}}{{18}})}}{{-\sin(\frac{{7\pi}}{{18}})}}\] и \[\frac{{\cos(\frac{{3\pi}}{{7}})}}{{-\sin(\frac{{3\pi}}{{7}})}}\] соответственно.

Надеюсь, это решение поможет вам лучше понять и получить желаемый ответ. Если у вас возникнут еще вопросы, с радостью помогу вам!