1) Каково отношение начальной кинетической энергии камня к его кинетической энергии в верхней точке траектории, если

1) Чтобы найти отношение начальной кинетической энергии камня к его кинетической энергии в верхней точке траектории, нам нужно разобраться с физическими законами, связанными с движением.

В данной задаче мы имеем дело с вертикальным движением камня, брошенного с горизонтальной поверхности под углом 60° к горизонту. При этом мы предполагаем, что силы сопротивления воздуха можно пренебречь.

По закону сохранения механической энергии, сумма потенциальной энергии и кинетической энергии остается постоянной на всей траектории движения камня.

Начальная кинетическая энергия камня равна \(E_{\text{нач}} = \frac{1}{2}mv_0^2\), где \(m\) - масса камня, а \(v_0\) - начальная скорость камня, которая в данном случае равна \(\frac{u}{\sqrt{2}}\), где \(u\) - начальная скорость камня по горизонту.

Кинетическая энергия в верхней точке траектории равна \(E_{\text{верх}} = \frac{1}{2}mv_{\text{верх}}^2\), где \(v_{\text{верх}}\) - скорость камня в верхней точке траектории, которую мы должны найти.

Теперь найдем начальную скорость камня по горизонту. Для этого мы можем воспользоваться тригонометрией. Так как угол бросания камня равен 60°, то горизонтальная скорость камня будет равна \(u = v_0 \cdot \cos(60°)\).

Используя закон сохранения энергии, мы можем установить, что сумма начальной кинетической энергии и начальной потенциальной энергии равна сумме кинетической и потенциальной энергии в верхней точке траектории: \(E_{\text{нач}} = E_{\text{верх}} + mgh\), где \(g\) - ускорение свободного падения, а \(h\) - высота верхней точки траектории. Сопротивление воздуха в данной задаче не учитываем, поэтому потенциальная энергия на верхней точке траектории составляет \(mgh\).

Теперь выразим скорость камня в верхней точке траектории: \(v_{\text{верх}} = \sqrt{2gh}\).

Подставим значения в формулы и решим задачу:

Для начальной кинетической энергии камня:
\(E_{\text{нач}} = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{u}{\sqrt 2}\right)^2 = \frac{1}{2}\cdot m\cdot \frac{u^2}{2} = \frac{mu^2}{4}\)

Для кинетической энергии в верхней точке траектории:
\(E_{\text{верх}} = \frac{1}{2}mv_{\text{верх}}^2 = \frac{1}{2}m\left(\sqrt{2gh}\right)^2 = \frac{1}{2}m\cdot 2gh = mgh\)

Теперь найдем отношение \(E_{\text{нач}}\) к \(E_{\text{верх}}\):
\(\frac{E_{\text{нач}}}{E_{\text{верх}}}= \frac{\frac{mu^2}{4}}{mgh} = \frac{u^2}{4gh}\)

Таким образом, отношение начальной кинетической энергии камня к его кинетической энергии в верхней точке траектории равно \(\frac{u^2}{4gh}\).

2) Чтобы найти отношение периода колебаний первого груза на первой пружине к периоду колебаний второго груза на второй пружине, мы можем использовать формулу для периода колебаний пружины:

\(T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\), где \(T\) - период колебаний, \(m\) - масса груза, \(k\) - коэффициент упругости пружины.

В данной задаче первую пружину подвесили гирькой массой 200 г, а вторую пружину - гирькой массой 100 г.

Так как трение отсутствует, коэффициент упругости пружин не изменяется, поэтому для обеих пружин он равен \(k\).

Теперь подставим значения в формулу и решим задачу:

Для первой пружины с гирькой массой 200 г:
\(T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.2 \, \text{кг}}{k}}\)

Для второй пружины с гирькой массой 100 г:
\(T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{0.1 \, \text{кг}}{k}}\)

Теперь найдем отношение \(T_1\) к \(T_2\):
\(\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi\sqrt{\frac{0.2 \, \text{кг}}{k}}}{2\pi\sqrt{\frac{0.1 \, \text{кг}}{k}}} = \sqrt{\frac{0.2}{0.1}} = \sqrt{2}\)

Таким образом, отношение периода колебаний первого груза на первой пружине к периоду колебаний второго груза на второй пружине равно \(\sqrt{2}\).