1. Каково начальное удлинение пружины с жёсткостью 100 Н/м, если её потенциальная энергия составляет 45 мДж? а) Каково

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать формулу для потенциальной энергии упругой деформации пружины:

\[ U = \frac{1}{2} k x^2 \]

где \( U \) - потенциальная энергия пружины, \( k \) - жёсткость пружины, \( x \) - удлинение пружины.

Дано:
\( k = 100 \, \text{Н/м} \)
\( U = 45 \times 10^{-3} \, \text{Дж} \)

а) Чтобы найти начальное удлинение пружины, нужно решить уравнение для потенциальной энергии:

\[ U = \frac{1}{2} k x^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 45 \times 10^{-3} = \frac{1}{2} \times 100 \times x^2 \]

Упростим выражение:

\[ x^2 = \frac{45 \times 10^{-3}}{50} = 9 \times 10^{-4} \]

Возьмем корень из обеих сторон уравнения:

\[ x = \sqrt{9 \times 10^{-4}} = 3 \times 10^{-2} = 0.03 \, \text{м} \]

Таким образом, начальное удлинение пружины составляет 0.03 метра.

б) Чтобы найти удлинение пружины, когда её потенциальная энергия удвоится, мы можем использовать формулу для потенциальной энергии и решить уравнение:

\[ U" = \frac{1}{2} k x"^2 \]

где \( U" \) - новая потенциальная энергия пружины, \( x" \) - новое удлинение пружины.

Из условия задачи, \( U" = 2U \):

\[ 2U = \frac{1}{2} k x"^2 \]

Разделим уравнение на 2:

\[ U = \frac{1}{4} k x"^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 45 \times 10^{-3} = \frac{1}{4} \times 100 \times x"^2 \]

Упростим выражение:

\[ x"^2 = \frac{45 \times 10^{-3}}{25} = 1.8 \times 10^{-3} \]

Возьмем корень из обеих сторон уравнения:

\[ x" = \sqrt{1.8 \times 10^{-3}} \approx 4.24 \times 10^{-2} \approx 0.0424 \, \text{м} \]

Таким образом, удлинение пружины будет примерно 0.0424 метра, если её потенциальная энергия удвоится.

в) Чтобы найти работу, необходимую для увеличения удлинения пружины вдвое, можно использовать формулу для работы:

\[ W = \frac{1}{2} k (x"^2 - x^2) \]

где \( W \) - работа, \( x" \) - новое удлинение пружины, \( x \) - начальное удлинение пружины.

Подставим известные значения:

\[ W = \frac{1}{2} \times 100 \times ((0.0424)^2 - (0.03)^2) \]

Посчитаем выражение в скобках:

\[ (0.0424)^2 - (0.03)^2 \approx 0.0018 \]

Теперь вычислим работу:

\[ W \approx \frac{1}{2} \times 100 \times 0.0018 = 0.09 \, \text{Дж} \]

Таким образом, для увеличения удлинения пружины вдвое, необходимо выполнить работу примерно 0.09 Дж.