1. Каково количество возможных способов выбрать капитана и заместителя из 12 членов команды? 2. Чему равно значение

1. Для решения данной задачи воспользуемся комбинаторикой и принципом упорядоченных выборок без повторений. В данном случае нам нужно выбрать капитана и заместителя из 12 членов команды. Для выбора капитана у нас есть 12 вариантов, а для выбора заместителя - 11 вариантов (так как один человек уже выбран в качестве капитана). Умножим эти числа, чтобы получить общее количество возможных способов выбора: \(12 \cdot 11 = 132\). Таким образом, количество возможных способов выбрать капитана и заместителя из 12 членов команды равно 132.

2. Для решения данного выражения воспользуемся формулами для подсчета перестановок и размещений. В выражении \(4P3\) у нас есть 4 объекта, которые нужно упорядочить по 3. Формула для размещений без повторений выглядит следующим образом: \(\frac{{n!}}{{(n - r)!}}\), где \(n\) - количество объектов, \(r\) - количество объектов в упорядоченной выборке. Применяя эту формулу, получаем \(4P3 = \frac{{4!}}{{(4 - 3)!}} = \frac{{4!}}{{1!}} = 4\).

Далее, у нас есть \(3A210\), что означает размещение 3 объектов из 10. Применяя ту же формулу для размещений без повторений, получаем \(3A210 = \frac{{10!}}{{(10 - 3)!}} = \frac{{10!}}{{7!}} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\).

Наконец, у нас есть \(\С25\), что означает количество сочетаний из 25 объектов по 5. Формула для сочетаний без повторений выглядит следующим образом: \(\frac{{n!}}{{r! \cdot (n - r)!}}\), где \(n\) - количество объектов, \(r\) - количество объектов в комбинации. Применяя эту формулу, получаем \(\С25 = \frac{{25!}}{{5! \cdot (25 - 5)!}} = \frac{{25!}}{{5! \cdot 20!}}\).

Таким образом, значение выражения \(4P3 + 3A210 - С25 = 4 + 720 - \frac{{25!}}{{5! \cdot 20!}}\).

3. Для решения данной задачи воспользуемся формулой условной вероятности. Пусть событие A - выпускник работает в банке, событие B - выпускник является выпускником экономического института.

Из условия мы знаем, что выпускники разделены между тремя организациями следующим образом: 17 в банке, 23 в фирме и 19 в налоговой инспекции.

Вероятность события A равна \(\frac{{17}}{{17+23+19}} = \frac{{17}}{{59}}\).

Вероятность события B равна \(\frac{{59}}{{59}}\), так как все выпускники являются выпускниками экономического института.

Теперь мы можем использовать формулу условной вероятности: \(P(A | B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}\), где \(P(A \cap B)\) - вероятность одновременного наступления событий A и B.

Мы знаем, что выпускники разделены между тремя организациями, и поэтому выпускник-банкир может быть выпускником экономического института. Таким образом, вероятность одновременного наступления событий A и B равна вероятности события A (выпускник работает в банке), так как A содержится в B.

Подставим эти значения в формулу условной вероятности:
\(P(A | B) = \frac{{\frac{{17}}{{59}}}}{{\frac{{59}}{{59}}}} = \frac{{17}}{{59}}\).

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный выпускник экономического института работает в банке, равна \(\frac{{17}}{{59}}\).

4. Для решения данной задачи воспользуемся принципом упорядоченных выборок без повторений. Мы должны расставить 8 различных книг на полке так, чтобы сборники стихов оказались рядом. Поскольку сборки стихов должны быть рядом, мы можем рассматривать их как одну "суперкнигу". Тогда у нас всего 7 "книг" (6 отдельных книг и 1 суперкнига), которые нужно упорядочить на полке.

Количество вариантов упорядочивания 7 "книг" можно найти с помощью формулы для перестановок без повторений: \(7!\).

Таким образом, количество вариантов расстановки 8 различных книг на полке так, чтобы сборники стихов оказались рядом, равно \(7!\).

5. Чтобы определить количество способов для выбора команды из 6 человек для игры в КВН при заданных условиях, требуется получить конкретные данные о людях и условиях вопроса. Пожалуйста, уточните, какие условия должны быть учтены при формировании команды, чтобы я могу дать более точный ответ.