1. Какова вероятность выбрать два изделия первого сорта из общего количества 20 изделий первого сорта и 10 изделий

1. Для решения этой задачи нам потребуется применить комбинаторику и вычислить вероятность выбора двух изделий первого сорта из общего количества 20 изделий первого сорта и 10 изделий второго сорта на складе.

Исходная информация:
- Изделий первого сорта - 20
- Изделий второго сорта - 10

Вероятность выбора двух изделий первого сорта можно вычислить с помощью формулы комбинаторики:

\[P = \frac{{C_{n}^{k}}}{{C_{N}^{K}}}\]

где:
- \(C_{n}^{k}\) обозначает количество сочетаний из n элементов по k элементов
- \(C_{N}^{K}\) обозначает количество сочетаний из N элементов (общее количество изделий на складе) по K элементов (количество изделий, которые мы выбираем)

В данной задаче нам нужно выбрать два изделия первого сорта из общего количества 20 изделий первого сорта и 10 изделий второго сорта. Таким образом, у нас две переменные: n = 20 (количество изделий первого сорта) и N = 30 (общее количество изделий на складе). Также нам нужно выбрать k = 2 элемента (количество выбираемых изделий первого сорта) и K = 30 элементов (общее количество выбираемых изделий).

Подставляя значения в формулу комбинаторики, получаем:

\[P = \frac{{C_{20}^{2}}}{{C_{30}^{2}}}\]

Вычисляя комбинации, получаем:

\[P = \frac{{20!}}{{2! \cdot (20-2)!}} : \frac{{30!}}{{2! \cdot (30-2)!}}\]

Упрощая формулу, получаем:

\[P = \frac{{20!}}{{2! \cdot 18!}} : \frac{{30!}}{{2! \cdot 28!}}\]

Мы можем сократить 2! в числителе и знаменателе:

\[P = \frac{{20 \cdot 19}}{{2 \cdot 1}} : \frac{{30 \cdot 29}}{{2 \cdot 1}}\]

Мы получили выражение, состоящее только из чисел:

\[P = \frac{{20 \cdot 19}}{{30 \cdot 29}}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[P = \frac{{380}}{{870}}\]

Итак, вероятность выбора двух изделий первого сорта из общего количества 20 изделий первого сорта и 10 изделий второго сорта на складе равна \(\frac{{380}}{{870}}\).

2. Для решения этой задачи также применим комбинаторику и вычислим вероятность выбора трех стандартных деталей из ящика, содержащего 31 стандартную деталь и 6 нестандартных.

Исходная информация:
- Стандартных деталей - 31
- Нестандартных деталей - 6

В данной задаче нам нужно выбрать три стандартные детали из общего количества 31 стандартной детали и 6 нестандартных. Таким образом, у нас две переменные: n = 31 (количество стандартных деталей) и N = 37 (общее количество деталей в ящике). Также нам нужно выбрать k = 3 элемента (количество выбираемых стандартных деталей) и K = 37 элементов (общее количество выбираемых деталей).

Подставляя значения в формулу комбинаторики, получаем:

\[P = \frac{{C_{31}^{3}}}{{C_{37}^{3}}}\]

Вычисляя комбинации, получаем:

\[P = \frac{{31!}}{{3! \cdot (31-3)!}} : \frac{{37!}}{{3! \cdot (37-3)!}}\]

Упрощая формулу, получаем:

\[P = \frac{{31!}}{{3! \cdot 28!}} : \frac{{37!}}{{3! \cdot 34!}}\]

Мы можем сократить 3! в числителе и знаменателе:

\[P = \frac{{31 \cdot 30 \cdot 29}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}} : \frac{{37 \cdot 36 \cdot 35}}{{3 \cdot 2 \cdot 1}}\]

Мы получили выражение, состоящее только из чисел:

\[P = \frac{{31 \cdot 30 \cdot 29}}{{37 \cdot 36 \cdot 35}}\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[P = \frac{{26970}}{{46620}}\]

Итак, вероятность выбора трех стандартных деталей из ящика, содержащего 31 стандартную деталь и 6 нестандартных, равна \(\frac{{26970}}{{46620}}\).

3. Для решения этой задачи нам нужно вычислить вероятность того, что произведение очков, выпавших на двух игральных костях, будет равно определенному числу.

Общее количество возможных исходов при броске двух игральных костей равно 6 * 6 = 36, так как каждая кость имеет 6 граней.

Найдем количество благоприятных исходов, когда произведение очков, выпавших на двух игральных костях, равно определенному числу.

- Если нужно найти вероятность получить произведение очков, равное 1, то благоприятным исходом будет только пара (1, 1). Таким образом, количество благоприятных исходов равно 1.
- Если нужно найти вероятность получить произведение очков, равное 2, то благоприятными исходами будут пары (1, 2) и (2, 1). Таким образом, количество благоприятных исходов равно 2.
- Продолжая аналогично, можно составить таблицу благоприятных исходов для всех возможных чисел произведения:

| Произведение | Благоприятные исходы |
|--------------|---------------------|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 2 |
| 4 | 3 |
| 5 | 4 |
| 6 | 5 |
| 7 | 6 |
| 8 | 5 |
| 9 | 4 |
| 10 | 3 |
| 11 | 2 |
| 12 | 1 |

Вычислим вероятность получить каждое из возможных чисел произведения, поделив количество благоприятных исходов на общее количество исходов:

- Вероятность получить произведение, равное 1, равна \(\frac{{1}}{{36}}\).
- Вероятность получить произведение, равное 2, равна \(\frac{{2}}{{36}} = \frac{{1}}{{18}}\).
- Вероятность получить произведение, равное 3, равна \(\frac{{2}}{{36}} = \frac{{1}}{{18}}\).
- Вероятность получить произведение, равное 4, равна \(\frac{{3}}{{36}} = \frac{{1}}{{12}}\).
- Вероятность получить произведение, равное 5, равна \(\frac{{4}}{{36}} = \frac{{1}}{{9}}\).
- Вероятность получить произведение, равное 6, равна \(\frac{{5}}{{36}}\).
- Вероятность получить произведение, равное 7, равна \(\frac{{6}}{{36}} = \frac{{1}}{{6}}\).
- Вероятность получить произведение, равное 8, равна \(\frac{{5}}{{36}}\).
- Вероятность получить произведение, равное 9, равна \(\frac{{4}}{{36}} = \frac{{1}}{{9}}\).
- Вероятность получить произведение, равное 10, равна \(\frac{{3}}{{36}} = \frac{{1}}{{12}}\).
- Вероятность получить произведение, равное 11, равна \(\frac{{2}}{{36}} = \frac{{1}}{{18}}\).
- Вероятность получить произведение, равное 12, равна \(\frac{{1}}{{36}}\).

Таким образом, мы вычислили вероятность того, что произведение очков, выпавших на двух игральных костях, будет равно каждому из возможных чисел.