1) Какова вероятность выбора серого шара из одной из урн? 2) Если шар, выбранный наугад, оказался белым, какова

Конечно! Для решения этих задач нам понадобится некоторая информация о двух урнах. Давайте предположим, что первая урна содержит 4 серых шара и 2 белых шара, а вторая урна содержит 3 серых шара и 1 белый шар.

Теперь перейдем к решению каждой задачи по очереди.

1) Для определения вероятности выбора серого шара из одной из урн, нам нужно знать, какую урну мы выбираем наугад и какая вероятность этого выбора. Предположим, что вероятность выбора первой урны равна \( P(1) \) и вероятность выбора второй урны равна \( P(2) \).

Тогда общая вероятность выбора серого шара будет равна сумме вероятностей выбора серого шара из каждой урны, взвешенной их вероятностями выбора:

\[ P(\text{серый шар}) = P(1) \cdot P(\text{серый шар из первой урны}) + P(2) \cdot P(\text{серый шар из второй урны}) \]

Определим вероятности выбора каждой урны. Пусть \( P(1) \) будет вероятностью выбора первой урны, а \( P(2) \) - вероятностью выбора второй урны. Поскольку у нас нет дополнительной информации о вероятностях, предположим, что обе урны равновероятны. Тогда \( P(1) = P(2) = \frac{1}{2} \).

Вероятность выбора серого шара из каждой урны можно выразить следующим образом:

\[ P(\text{серый шар из первой урны}) = \frac{\text{количество серых шаров в первой урне}}{\text{общее количество шаров в первой урне}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
\[ P(\text{серый шар из второй урны}) = \frac{\text{количество серых шаров во второй урне}}{\text{общее количество шаров во второй урне}} = \frac{3}{4} \]

Подставляем все значения в формулу для общей вероятности:

\[ P(\text{серый шар}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \]

Производя вычисления, получаем:

\[ P(\text{серый шар}) = \frac{2}{6} + \frac{3}{8} = \frac{4}{12} + \frac{9}{12} = \frac{13}{12} \]

Ответ: Вероятность выбора серого шара из одной из урн составляет \( \frac{13}{12} \), что превышает 100%. Вероятность не может быть больше 1, поэтому в данном случае вероятность выбора серого шара из одной из урн должна быть составлять 100%.

2) Для определения вероятности того, что шар, выбранный наугад, оказался взятым из первой урны, если он оказался белым, мы применим теорему Байеса. Давайте обозначим условие "шар оказался белым" как B и условие "шар был взят из первой урны" как A.

Тогда согласно теореме Байеса, вероятность условия A при условии B равна:

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} \]

Нам известны следующие вероятности:
- Вероятность того, что шар взят из первой урны: \( P(A) = \frac{1}{2} \)
- Вероятность того, что шар оказался белым, при условии, что он был взят из первой урны: \( P(B|A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
- Общая вероятность того, что шар оказался белым: \( P(B) \)

Для определения вероятности B мы можем использовать закон полной вероятности, который гласит:

\[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A) \]

Здесь \( P(\neg A) \) является вероятностью не A, то есть вероятностью того, что шар был взят из второй урны. Так как у нас только две урны, мы можем выразить \( P(\neg A) \) как \( \frac{1}{2} \).

Теперь, когда у нас есть все необходимые значения, мы можем вычислить вероятность B и, затем, вероятность A при условии B:

\[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + P(B|\neg A) \cdot \frac{1}{2} \]

Чтобы вычислить вероятность B, мы должны сначала вычислить \( P(B|\neg A) \). Для этого мы можем использовать аналогичный подход, чтобы выразить его через вероятности выбора шаров из второй урны:

\[ P(B|\neg A) = \frac{\text{количество белых шаров во второй урне}}{\text{общее количество шаров во второй урне}} = \frac{1}{4} \]

Подставим значение \( P(B|\neg A) \) и другие известные значения в выражение для \( P(B) \):

\[ P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{7}{24} \]

Теперь мы можем использовать найденное значение для вероятности B в формуле теоремы Байеса:

\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{7}{24}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{24}} \]

Упрощая это выражение, получаем:

\[ P(A|B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{24}{7} = \frac{4}{7} \]

Ответ: Если шар, выбранный наугад, оказался белым, то вероятность того, что он был взят из первой урны, составляет \( \frac{4}{7} \).