1) Какова вероятность того, что, выбирая случайные 3 документа из набора из 100, все три будут относиться к разным

Да, конечно! Давайте решим эти задачи по порядку.

1) Для определения вероятности того, что выбранные документы будут относиться к разным темам, нужно посчитать количество благоприятных исходов и разделить его на общее количество возможных исходов.

Количество благоприятных исходов — это количество способов выбрать по одному документу из каждого подмножества так, чтобы все выбранные документы были разных тем. Для первой темы у нас есть 30 документов, для второй и третьей тем — по 35 документов. Поэтому количество благоприятных исходов можно вычислить следующим образом: 30 * 35 * 35.

Общее количество возможных исходов — это количество способов выбрать 3 документа из общего числа документов в наборе. В данном случае нам нужно выбрать 3 документа из 100, что можно выразить через биномиальный коэффициент сочетаний. Общее количество исходов равно \(\binom{100}{3}\).

Таким образом, вероятность того, что выбранные 3 документа будут относиться к разным темам, равна:

\[
P = \frac{{30 \cdot 35 \cdot 35}}{{\binom{100}{3}}}
\]

2) В этой задаче нам нужно определить вероятность того, что ровно 6 из выбранных 10 документов будут относиться к одной теме, при условии, что в коллекции 25% документов посвящены тематике "a", 35% — тематике "b" и 40% — тематике "c".

Для решения этой задачи мы будем использовать понятие биномиального распределения. Вероятность успеха в каждом испытании (выборе документа, относящегося к определенной теме) будет зависеть от вероятности появления документа каждой тематики.

Вероятность успеха (выбора документа по заданной тематике) высчитывается как произведение вероятности появления такого документа в коллекции и количества документов, принадлежащих данной тематике, деленное на общее количество документов в коллекции. Таким образом, вероятность выбора 6 документов по одной тематике и 4 документов по другим составит:

\[
P = \binom{10}{6} \cdot (0.25)^6 \cdot (0.35)^4 + \binom{10}{6} \cdot (0.35)^6 \cdot (0.25)^4 + \binom{10}{6} \cdot (0.40)^6 \cdot (0.25)^4
\]

где \(\binom{10}{6}\) — количество способов выбрать 6 документов из 10.

Это позволит нам определить вероятность того, что выбранные 10 документов будут разделены между разными тематиками.

Давайте вычислим эти вероятности.