1) Какова вероятность того, что у 1095 студентов факультета произошло следующее: а) точно 2 студента родились 4 апреля

Задача 1:

а) Давайте рассмотрим каждого студента по отдельности. Вероятность того, что один конкретный студент родился 4 апреля, равна \(\frac{1}{365}\), т.к. в году 365 дней (высокосные годы мы не учитываем для простоты расчета). Так как каждый студент родился независимо от остальных, вероятность того, что 2 из 1095 студентов родились 4 апреля, можно вычислить по формуле биномиального распределения.

Для этой задачи нам понадобится формула:

\[P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

Где
\(P(k)\) - вероятность того, что произойдет событие k раз,
\(C_n^k\) - количество сочетаний из n по k (т.е. число способов выбрать k элементов из n),
\(p\) - вероятность одного события,
\(q = 1 - p\) - вероятность противоположного события.

В нашем случае решения задачи а), пусть \(p = \frac{1}{365}\) и \(q = \frac{364}{365}\).

Подставим данные в формулу:

\[P(2) = C_{1095}^2 \cdot \left(\frac{1}{365}\right)^2 \cdot \left(\frac{364}{365}\right)^{1095-2}\]

Теперь вычислим значение \(P(2)\) и округлим до 4 знаков после запятой.

б) Для решения задачи б) вспомним противоположное событие: "у всех 1095 студентов нет дня рождения 4 апреля". Тогда вероятность этого события равна \(q^{1095}\). Подставим значение \(q = \frac{364}{365}\) и вычислим:

\[P(\text{"хотя бы один студент имеет день рождения 4 апреля"}) = 1 - P(\text{"у всех 1095 студентов нет дня рождения 4 апреля"}) = 1 - \left(\frac{364}{365}\right)^{1095}\]

Теперь вычислим значение и округлим до 4 знаков после запятой.

Ответ на задачу 1:

а) Вероятность того, что точно 2 студента родились 4 апреля, составляет [вероятность_а].

б) Вероятность того, что хотя бы у одного студента есть день рождения 4 апреля, составляет [вероятность_б].

Задача 2:

а) Для нахождения наиболее вероятного значения k0 стоит использовать биномиальное распределение. Мы знаем вероятность потребности ремонта равна 0,02. Вероятность того, что конкретный телевизор не потребует ремонта составит \(1 - 0,02 = 0,98\).

Так как у нас есть 200 телевизоров и вероятность того, что каждый из них не потребует ремонта равна 0,98, мы можем использовать биномиальное распределение для нахождения наиболее вероятного значения k0.

Количество телевизоров, которые не потребуют ремонта, можно выразить следующей формулой:

\[P(k0) = C_{200}^{k0} \cdot 0,98^{k0} \cdot 0,02^{200 - k0}\]

Для нахождения наиболее вероятного значения k0, мы должны проверить все возможные значения k0 (от 0 до 200) и найти ту, которая даст максимальную вероятность.

б) Чтобы найти вероятность того, что хотя бы один телевизор потребует ремонт, мы можем использовать противоположное событие: "нет телевизоров, которые не потребуют ремонта". Тогда вероятность этого события равна \(1 - P(k0)\).

Ответ на задачу 2:

а) Наиболее вероятное количество \(k0\) телевизоров из 200 выпущенных, которые не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, составляет [наиболее_вероятное_k0], а соответствующая вероятность \(P(k0)\) равна [вероятность_k0].

б) Вероятность того, что хотя бы один телевизор потребует ремонта, составляет [вероятность_одного_ремонта].