1. Какова вероятность того, что шары будут выниматься из урны по порядку, начиная с номера 1 и заканчивая номером

1. Для решения задачи о вероятности вынимания шаров из урны в определенном порядке, мы можем использовать понятие перестановок. Перестановка - это упорядоченная последовательность элементов. В данном случае мы имеем n шаров, которые нужно вынуть в определенном порядке.

Изначально в урне находится n шаров, и мы должны вынуть их по порядку. При первом выборе мы имеем n вариантов выбора, так как у нас есть n шаров с номерами от 1 до n. После первого шара остается n-1 шар, затем n-2, и так далее, пока не будет выбран последний шар с номером n.

Таким образом, общее количество возможных перестановок для данной задачи будет равно произведению чисел от 1 до n, то есть n! (n-факториал).

Вероятность же определенной последовательности составляет единицу поделить на общее количество перестановок. Таким образом, вероятность выбрать шары в порядке от 1 до n будет равна: \(\frac{1}{n!}\).

2. При возвращении шаров в урну и перемешивании задача становится немного сложнее. Нам нужно вычислить вероятность того, что после возвращения и перемешивания шаров мы получим именно естественную последовательность номеров шаров.

Изначально у нас есть n шаров, и мы помещаем их в урну. После этого мы перемешиваем шары. Всего возможно n! различных перестановок шаров.

Естественная последовательность номеров шаров будет только одна из всех возможных перестановок. Таким образом, вероятность получить именно естественную последовательность номеров будет равна: \(\frac{1}{n!}\).

Обратите внимание, что в обоих случаях вероятность будет зависеть от количества шаров (n) и будет уменьшаться с увеличением n.