1) Какова вероятность того, что первый шар, извлеченный из урны, будет черным, второй - красным и третий - белым? Ответ

1) Предположим, что в урне имеется \(n\) шаров, и \(a\) из них черные, \(b\) - красные и \(c\) - белые. В данной задаче у нас требуется определить вероятность того, что первый шар будет черным, второй - красным и третий - белым.

Для первого шара вероятность извлечь черный шар равна отношению числа черных шаров к общему числу шаров:
\[P(\text{первый черный}) = \dfrac{a}{n}\]

После извлечения черного шара из урны у нас осталось \((n-1)\) шаров, включая \(b\) красных шаров. Тогда вероятность извлечь красный шар равна:
\[P(\text{второй красный}) = \dfrac{b}{n-1}\]

После извлечения красного шара остается \((n-2)\) шаров, включая \(c\) белых шаров. Вероятность извлечь белый шар будет:
\[P(\text{третий белый}) = \dfrac{c}{n-2}\]

Таким образом, общая вероятность того, что первый шар будет черным, второй - красным и третий - белым, равна произведению вероятностей каждого из событий:
\[P(\text{черный, красный, белый}) = P(\text{первый черный}) \times P(\text{второй красный}) \times P(\text{третий белый})\]

2) Теперь проанализируем вероятности выбора ученика по полу.

а) Поскольку первый выбранный ученик - мальчик, вероятность выбрать второго мальчика зависит от оставшихся мальчиков и общего числа учеников. Предположим, что в классе всего \(n\) учеников, из которых \(m\) - мальчики. После выбора мальчика на первом месте, остается \((n-1)\) ученик, среди которых \((m-1)\) мальчик. Таким образом, вероятность выбрать второго мальчика будет:
\[P(\text{второй мальчик} | \text{первый мальчик}) = \dfrac{m-1}{n-1}\]

б) Если первый выбранный ученик - мальчик, то после его выбора мы остаемся с \((n-1)\) учеником, из которых \((m-1)\) являются мальчиками и \(f\) - девочками. Вероятность выбрать девочку после выбора мальчика на первом месте будет:
\[P(\text{девочка} | \text{первый мальчик}) = \dfrac{f}{n-1}\]

3) Для задачи с карандашами, где требуется последовательно извлечь один красный, один синий и один зеленый, вероятность извлечения каждого цвета карандаша будет зависеть от общего количества карандашей каждого цвета и общего количества карандашей в коробке.

Предположим, что в коробке всего \(n\) карандашей, из которых \(a\) - красные, \(b\) - синие и \(c\) - зеленые. Общая вероятность того, что были извлечены один красный, один синий и один зеленый карандаш, равна произведению вероятностей каждого из событий:
\[P(\text{красный, синий, зеленый}) = P(\text{первый красный}) \times P(\text{второй синий}) \times P(\text{третий зеленый})\]

Для первого карандаша вероятность извлечь красный карандаш равна:
\[P(\text{первый красный}) = \dfrac{a}{n}\]

После извлечения красного карандаша остаются \((n-1)\) карандаш, включая \(b\) синих карандашей. Тогда вероятность извлечь синий карандаш будет:
\[P(\text{второй синий}) = \dfrac{b}{n-1}\]

После извлечения синего карандаша остается \((n-2)\) карандаша, включая \(c\) зеленых карандашей. Вероятность извлечь зеленый карандаш будет:
\[P(\text{третий зеленый}) = \dfrac{c}{n-2}\]

Надеюсь, эти разъяснения помогут вам понять данные вероятности. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!