Сколько минут потребуется Федеи, чтобы перейти на следующий уровень, начав игру с нулевым количеством очков и добавляя

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть \( x \) - это количество минут, которое Федя будет тратить, чтобы перейти на следующий уровень. Рассмотрим, сколько очков он будет получать каждую минуту.

На первой минуте, у него будет \( 0 + 250 \cdot (x - 1) \) очков.
На второй минуте, у него будет \( 0 + 250 \cdot (x - 1) + 250 \cdot (x - 2) \) очков.
На третьей минуте, у него будет \( 0 + 250 \cdot (x - 1) + 250 \cdot (x - 2) + 250 \cdot (x - 3) \) очков.

Общая формула для количества очков на \( n \)-й минуте выглядит так:

\[ 0 + 250 \cdot (x - 1) + 250 \cdot (x - 2) + \ldots + 250 \cdot (x - n) \]

Теперь нам нужно найти, при каком значении \( n \) количество очков будет равно или больше 1000 (поскольку это минимальное количество очков, чтобы перейти на следующий уровень).

Итак, нам нужно решить следующее уравнение:

\[ 0 + 250 \cdot (x - 1) + 250 \cdot (x - 2) + \ldots + 250 \cdot (x - n) \geq 1000 \]

Обратите внимание, что сумма арифметической прогрессии имеет вид:

\[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1) \cdot d) \]

Где \( a \) - первый член прогрессии (в нашем случае это \( 0 + 250 \cdot (x - 1) \)), а \( d \) - разность этой прогрессии (в нашем случае это -250).

Подставим значения:

\[ \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot (0 + 250 \cdot (x - 1)) + (n-1) \cdot (-250)) \geq 1000 \]

Упростим это уравнение:

\[ n \cdot (500x - 250) - 250 \cdot (n - 1) \cdot (n) \geq 4000 \]

Раскроем скобки:

\[ 500nx - 250n - 250n^2 + 250n \geq 4000 \]

Упростим еще:

\[ 500nx - 250n^2 \geq 4000 \]

Теперь передвинем все в одну сторону:

\[ 500nx - 250n^2 - 4000 \geq 0 \]

Давайте найдем корни этого квадратного уравнения и определим, когда функция будет положительной или отрицательной.

\[ n^2 - 2nx + 8 \leq 0 \]

Таким образом, корни этого квадратного уравнения - это точки, при которых функция изменяет знак. Решим это уравнение, чтобы найти эти корни:

\[ n = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1} \]

\[ n = \frac{2x \pm \sqrt{4x^2 - 32}}{2} \]

Упростим это уравнение:

\[ n = x \pm \sqrt{x^2 - 8} \]

Таким образом, функция \( n^2 - 2nx + 8 \leq 0 \) будет положительной, когда \( n < x - \sqrt{x^2 - 8} \) или \( n > x + \sqrt{x^2 - 8} \).

Теперь мы можем выполнить ряд проверок, чтобы определить конкретные значения \( n \), при которых функция \( n^2 - 2nx + 8 \) отрицательна или положительна.

На этом этапе необходимо использовать численные значения, чтобы определить фактическое количество минут, которое потребуется Федеи, чтобы перейти на следующий уровень. Зависимость от \( x \) должна быть замечена, чтобы быть в состоянии точно ответить на этот вопрос.