1) Какова вероятность того, что две последовательные точки, выбранные равновероятно из круга, попадут в квадрат

Давайте решим эти задачи по порядку:

1) Какова вероятность того, что две последовательные точки, выбранные равновероятно из круга, попадут в квадрат, который вписан в данный круг?

Для решения этой задачи возьмем во внимание, что радиус круга равен \(R\), а длина стороны вписанного квадрата равна \(d\). Для того чтобы две последовательные точки попали в квадрат, одна из точек должна оказаться внутри квадрата, а вторая - вне его, между квадратом и окружностью.

Площадь окружности равна \(\pi R^2\), а площадь квадрата равна \(d^2\). Таким образом, вероятность \(P\) того, что две точки попадут в квадрат, можно найти как отношение площади квадрата к площади окружности:

\[P = \frac{d^2}{\pi R^2}\]

2) Найдите вероятность \(P(a - b)\), если заданы вероятности \(P(a)=0.7\), \(P(b)=0.8\) и \(P(a+b)=0.95\).

Для решения этой задачи воспользуемся формулой условной вероятности:

\[P(a - b) = \frac{P(a+b) - P(b)}{P(a)}\]

Подставим значения:

\[P(a - b) = \frac{0.95 - 0.8}{0.7} = \frac{0.15}{0.7} \approx 0.2143\]

Таким образом, вероятность \(P(a - b)\) равна примерно 0.2143.

3) У трех стрелков независимо друг от друга вероятности попадания равны 0.7, 0.8 и 0.9 соответственно. Известно, что в мишень попали только двое стрелков. Какова вероятность того, что это были второй и третий стрелки?

Для решения этой задачи нам нужно воспользоваться формулой условной вероятности. Пусть событие A обозначает попадание второго стрелка, а событие B обозначает попадание третьего стрелка.

Вероятность попадания второго стрелка равна \(P(A) = 0.8\) и вероятность попадания третьего стрелка равна \(P(B) = 0.9\). Так как стрелки действуют независимо, вероятность попадания только второго и третьего стрелков равна произведению вероятностей попадания каждого из них:

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.8 \cdot 0.9 = 0.72\]

Таким образом, вероятность того, что в мишень попали именно второй и третий стрелки, равна 0.72.

4) Вероятность попасть в мишень равна 0.6. Было сделано 11 выстрелов, и вероятнее всего попали раз. Найдите соответствующую вероятность.

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться биномиальным распределением. Пусть \(X\) - количество попаданий, \(n\) - общее количество выстрелов, а \(p\) - вероятность попадания в один выстрел.

В данном случае \(n = 11\) и \(p = 0.6\). Нам нужно найти вероятность \(P(X = 1)\), то есть вероятность попасть ровно 1 раз.

Формула для биномиального распределения:

\[P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}\]

Подставим значения:

\[P(X = 1) = C_{11}^1 \cdot 0.6^1 \cdot (1-0.6)^{11-1} \approx 0.042\]

Таким образом, соответствующая вероятность составляет примерно 0.042.

Надеюсь, эти подробные решения помогут вам лучше понять поставленные задачи.