1. Какова величина угла сектора в градусах, на которые был разделен праздничный торт для 10 гостей в форме сектора

1. Чтобы найти величину угла сектора в градусах, необходимо знать количество гостей и полную величину угла круга. Круг составлен из 360 градусов (это является известным фактом). Если праздничный торт был разделен на 10 гостей, то нужно разделить 360 на 10, чтобы найти величину угла сектора.

\[
\text{{Угол сектора в градусах}} = \frac{{360}}{{\text{{Количество гостей}}}} = \frac{{360}}{{10}} = 36^\circ
\]

Таким образом, величина угла сектора составляет 36 градусов.

2. После того, как угол сектора стал тупым, образуется пустой сектор. Чтобы найти наименьшее количество гостей, которые взяли по кусочку торта в этом случае, нужно узнать, какой угол пустого сектора.

Из предыдущего решения мы знаем, что величина угла сектора составляет 36 градусов. Зная это, мы можем вычислить величину угла пустого сектора, так как сумма углов сектора и пустого сектора в круге должна быть равна 360 градусов.

\[
\text{{Величина угла пустого сектора}} = 360 - \text{{Угол сектора в градусах}} = 360 - 36 = 324^\circ
\]

Теперь, чтобы найти количество гостей, которые взяли по кусочку торта, нужно разделить величину угла пустого сектора на величину угла сектора.

\[
\text{{Количество гостей}} = \frac{{\text{{Величина угла пустого сектора}}}}{{\text{{Угол сектора в градусах}}}} = \frac{{324}}{{36}} = 9
\]

Таким образом, наименьшее количество гостей, которое взяло по кусочку торта в случае, когда угол сектора стал тупым и образовался пустой сектор, равно 9.