1) Какова скорость бруска у основания наклонной плоскости, если он скатывается без начальной скорости с равноускоренным

1) Для решения этой задачи нам понадобятся знания о скорости, равноускоренном движении и трении. Пусть масса бруска равна m, коэффициент трения равен k и ускорение равно a.

Общая формула для равноускоренного движения без начальной скорости имеет вид: $v^2=u^2+2as$, где v - скорость, u - начальная скорость, a - ускорение и s - перемещение.

В данной задаче у нас нет начальной скорости, поэтому уравнение упрощается до $v^2=2as$.

Также у нас есть трение между бруском и плоскостью. Формула для силы трения выглядит так: $F_{трения}=\mu \cdot F_{норм}$, где $\mu$ - коэффициент трения, $F_{норм}$ - сила нормальная.

Сила нормальная равна $F_{норм}=mg\cdot \cos (\theta )$, где m - масса бруска, g - ускорение свободного падения и $\theta$ - угол наклона плоскости.

Сила трения против направления движения равна $F_{трения}=\mu \cdot mg\cdot \cos (\theta )$.

Сила, вызывающая равномерное ускорение, равна $ma$.

С учетом этого мы можем записать уравнение второго закона Ньютона для бруска, скатывающегося по наклонной плоскости:

$ma=mg\cdot \sin (\theta )-\mu \cdot mg\cdot \cos (\theta )$.

Масса bруска m сокращается, и мы получаем $a=g\cdot (\sin (\theta )-\mu \cdot \cos (\theta ))$.

Так как у нас равноускоренное движение, мы можем записать уравнение для скорости: $v^2=2gs$.

Подставим a вместо g в это уравнение: $v^2=2\cdot g\cdot (\sin (\theta )-\mu \cdot \cos (\theta ))\cdot s$.

Используя геометрические соотношения, можно заметить, что равенство $\tan (\theta )=\frac{h}{s}$ (где h - высота) и $\sin (\theta )=\frac{h}{\sqrt{h^2+s^2}}$ и $\cos (\theta )=\frac{s}{\sqrt{h^2+s^2}}$.

Заменим sin(theta) и cos(theta) в уравнении для скорости и получим:

$v^2=2\cdot g\cdot (\frac{h}{\sqrt{h^2+s^2}}-\mu \cdot \frac{s}{\sqrt{h^2+s^2}})\cdot s$.

Перегруппируем выражение:

$v^2=2\cdot g\cdot (\frac{h-\mu \cdot s}{\sqrt{h^2+s^2}})\cdot s$.

Используя ранее полученное выражение для $\tan (\theta )$, подставим его в уравнение для скорости и получим:

$v^2=2\cdot g\cdot (\frac{h-\mu \cdot s}{\sqrt{h^2+s^2}})\cdot s=2\cdot g\cdot (\frac{\tan (\theta )\cdot s-\mu \cdot s}{\sqrt{{\tan }^2(\theta )\cdot s^2+s^2}})\cdot s$.

Упростим выражение:

$v^2=2\cdot g\cdot (\frac{\tan (\theta )-\mu }{\sqrt{{\tan }^2(\theta )+1}})\cdot s^2$.

Наконец, после преобразований, мы получаем уравнение для скорости бруска у основания наклонной плоскости:

$v=\sqrt{2\cdot g\cdot (\frac{\tan (\theta )-\mu }{\sqrt{{\tan }^2(\theta )+1}})\cdot s^2}$.

2) Для решения этой задачи нам понадобятся знания о скорости, кинетической энергии, теплоте и теплоемкости.

Пусть u - начальная скорость пули, m - масса пули, Т - начальная температура пули, Тпл - температура плавления свинца, С - удельная теплоемкость свинца и Q - удельная теплота плавления свинца.

Кинетическая энергия пули равна $E_{к}=\frac{1}{2}m{u}^2$.

По условию, 60% этой энергии переходит в нагревание пули:

$Q=0.6\cdot E_{к}$.

Суммарная энергия пули после попадания равна:

$E_{сум}=E_{к}+Q$.

У нас есть формула теплоты, связанная с изменением температуры:

$Q=m\cdot C\cdot (T_{пл}-T)$.

Совмещая эти две формулы, мы можем записать:

$E_{сум}=E_{к}+m\cdot C\cdot (T_{пл}-T)$.

Подставив значения и упростив, получаем:

$\frac{1}{2}m{u}^2+m\cdot C\cdot (T_{пл}-T)=0.6\cdot \frac{1}{2}m{u}^2$.

Упрощаем:

$m\cdot C\cdot (T_{пл}-T)=0.4\cdot \frac{1}{2}m{u}^2$.

Так как нам нужно найти скорость пули, решим это уравнение относительно u:

$u^2=\frac{2\cdot C\cdot (T_{пл}-T)}{0.4}$.

Используя данные из условия задачи, подставим значения:

$u^2=\frac{2\cdot 130\cdot (327-27)}{0.4}$.

После вычислений, мы найдем значение $u$, которое будет скоростью, которую должна иметь свинцовая пуля при попадании в преграду, чтобы она расплавилась наполовину.

3) Чтобы найти высоту дома, нам нужно знать дополнительные данные или условия задачи. Без этой информации мы не можем рассчитать высоту дома. Пожалуйста, предоставьте дополнительные детали или условия.