Какова длина отрезка AK в треугольнике ABC, где ∠B=60∘

Для решения данной задачи нам понадобится использовать тригонометрию и теорему косинусов.

Итак, у нас имеется треугольник ABC, где \(\angle B = 60^\circ\) и AB = 5 см. Нам нужно найти длину отрезка AK.

Для начала, обратимся к теореме косинусов, которая гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]
где c - длина стороны противолежащей углу C, a и b - длины двух других сторон, а C - величина между ними.

В нашем случае, у нас известны AB = 5 см и \(\angle B = 60^\circ\). Найдем угол C, который противолежит стороне AK. Известно, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. Так как углы A и B известны (A=90°, B=60°), то угол C можно вычислить следующим образом:
\(C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ\).

Теперь применим теорему косинусов для нахождения длины отрезка AK:
\[AK^2 = AB^2 + AK^2 - 2 \cdot AB \cdot AK \cdot \cos(C)\]

Подставим известные значения:
\[AK^2 = 5^2 + AK^2 - 2 \cdot 5 \cdot AK \cdot \cos(30^\circ)\]

Упростим выражение:
\[AK^2 = 25 + AK^2 - 10 AK \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Перенесем все члены с переменной AK на одну сторону:

\[0 = 25 - 10 AK \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

\[10 AK \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\]

\[5 AK \cdot \sqrt{3} = 25\]

Разделим обе части уравнения на 5 и упростим:

\[AK \cdot \sqrt{3} = 5\]

\[AK = \frac{5}{\sqrt{3}}\]

Чтобы получить окончательный ответ, упростим выражение:

\[AK = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\]

\[AK = \frac{5\sqrt{3}}{3}\]

Таким образом, длина отрезка AK равна \(\frac{5\sqrt{3}}{3}\) см.