Каковы площадь поверхности и объём конуса, если его радиус основания составляет 1 см и осевое сечение является

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о формулах для нахождения площади поверхности и объёма конуса. Давайте начнем с площади поверхности.

Площадь поверхности конуса вычисляется по следующей формуле:

\[S = \pi r (r + l)\]

где \(S\) - площадь поверхности конуса,
\(r\) - радиус его основания,
\(l\) - образующая конуса.

В нашем случае радиус основания конуса составляет 1 см. Нам необходимо найти длину образующей.

Так как осевое сечение является равносторонним треугольником, то образующая будет равна высоте треугольника. Для равностороннего треугольника мы можем использовать следующую формулу:

\[h = \frac{{a \sqrt{3}}}{2}\]

где \(h\) - высота треугольника,
\(a\) - длина стороны треугольника.

Так как равносторонний треугольник, являющийся осевым сечением конуса, у нас имеет сторону равной радиусу основания, то

\[a = r\]

Заметим, что радиус основания конуса равен 1 см, а значит \(a = r = 1\) см.

Подставим это в формулу для высоты:

\[h = \frac{{1 \cdot \sqrt{3}}}{2}\]

\[h = \frac{\sqrt{3}}{2}\] см.

Теперь, подставляя значения радиуса и образующей в формулу для площади поверхности конуса, получим:

\[S = \pi \cdot 1 \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\]

Вычислим значение выражения в скобках:

\[1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1.866\]

Продолжим рассчет:

\[S \approx \pi \cdot 1 \cdot 1.866\]

Для удобства вычислений, давайте представим число \(\pi\) как примерное значение, например, 3.14:

\[S \approx 3.14 \cdot 1 \cdot 1.866\]

\[S \approx 5.87804\] кв. см

Таким образом, площадь поверхности конуса при данных условиях составляет примерно 5.87804 кв. см.

Теперь рассчитаем объем конуса. Объем конуса вычисляется по следующей формуле:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

Подставим известные значения:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 1^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Упростим выражение:

\[V = \frac{\pi}{3 \cdot 2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3}\]

\[V = \frac{\pi \sqrt{3}}{6}\]

Опять же, для удобства вычислений возьмем значение \(\pi\) равным 3.14:

\[V \approx \frac{3.14 \cdot \sqrt{3}}{6}\]

\[V \approx \frac{3.14 \cdot 1.732}{6}\]

\[V \approx 0.907\] куб. см

Таким образом, объем конуса при данных условиях составляет примерно 0.907 куб. см.