1) Какова площадь сечения, если высота треугольной пирамиды делится параллельным основанию в отношении 2:7, от вершины?

Добро пожаловать! Я с удовольствием помогу вам решить задачи по геометрии.

1) Для начала, давайте определим обозначения. Пусть \(h\) - высота треугольной пирамиды, \(h_1\) - высота сечения, \(S\) - площадь сечения, \(S_1\) - площадь основания пирамиды.

По условию, высота треугольной пирамиды делится основанием в отношении 2:7. Это означает, что высота разделится на две части пропорционально основаниям. Пусть первая часть равна \(h_1\) и вторая часть равна \(h - h_1\).

Также известно, что площадь сечения равна площади прямоугольного треугольника, образованного одним из боковых ребер треугольной пирамиды и двумя линиями, проведенными из вершины треугольника к основанию пирамиды. Площадь такого треугольника можно найти по формуле \(S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times a \times h_1\), где \(a\) - длина основания треугольника (при основании понимается основание пирамиды).

Теперь объединим все эти данные. Площадь основания пирамиды равна \(S_1 = S + S_{\text{тр}}\), где \(S\) - площадь сечения, а \(S_{\text{тр}}\) - площадь прямоугольного треугольника.

2) В этой задаче нам известна площадь сечения пирамиды (\(S = 12 \, \text{дм}^2\)) и отношение, в котором плоскость сечения делит высоту (\(h\)). Пусть первая часть высоты (над сечением) будет равна \(h_1\), а вторая часть будет \(h - h_1\).

Мы также знаем, что площадь сечения равна площади прямоугольного треугольника, образованного линией, пересекающей основание пирамиды, и двумя линиями, проведенными из вершины треугольника к основанию пирамиды. Площадь такого треугольника можно найти по формуле \(S_{\text{тр}} = \frac{1}{2} \times a \times h_1\), где \(a\) - длина основания треугольника (при основании понимается основание пирамиды).

Тогда площадь основания пирамиды будет равна \(S_1 = \frac{S}{h_1} \times (h_1 + (h - h_1)) = \frac{S}{h_1} \times h\).

3) Для решения этой задачи посмотрим на сечение треугольной усеченной пирамиды. Обозначим высоту пирамиды \(h\), нижнее основание \(a\), верхнее основание \(b\), и боковое ребро \(c\).

Из симметрии усеченной пирамиды мы можем заметить, что высота сечения равна \(\frac{1}{2}h\). Это связано с тем, что сечение образовано плоскостью, перпендикулярной основанию, которое делит высоту пирамиды пополам.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник в сечении. Он имеет боковое ребро \(c\) и высоту \(\frac{1}{2}h\). Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы определить длину основания этого треугольника. Таким образом, \(\left(\frac{b-a}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}h\right)^2 = c^2\).

Наконец, используя теорему Пифагора, мы можем выразить высоту пирамиды \(h\) через \(a\), \(b\) и \(c\). Формула будет выглядеть следующим образом: \(h = \sqrt{\left(\frac{b-a}{2}\right)^2 + c^2}\).

4) В данной задаче вам нужно указать, что именно вы хотите узнать о правильной четырехугольной усеченной пирамиде. После этого я смогу дать вам соответствующий ответ.

Пожалуйста, уточните, какую информацию вы хотите получить о правильной четырехугольной усеченной пирамиде, и я с радостью помогу вам в этом.