1. Какова площадь основания пирамиды, если ее плоскость пересекает плоскость параллельно основанию и делит высоту

Конечно, давайте решим каждую задачу по очереди.

1. Дано: высота пирамиды делится на отношение 3:5, площадь сечения равна 45 дм².
Требуется найти площадь основания пирамиды.

Пусть \(h\) - высота пирамиды.

По условию задачи, сечение пирамиды делит высоту на отношение 3:5. Значит, высота пирамиды разделена на две части: \(3h/8\) и \(5h/8\).

Площадь сечения пирамиды равна 45 дм². Пусть \(S\) - площадь основания пирамиды.

Теперь воспользуемся подобием треугольников. Так как плоскость параллельна основанию пирамиды, то треугольник, образуемый плоскостью сечения и плоскостью основания, подобен треугольнику, образованному всей пирамидой и основанием. Поскольку соответствующие стороны подобных треугольников пропорциональны, можно записать следующее соотношение:

\(\frac{S}{S_{\text{сечения}}}\) = \(\left(\frac{h}{h_{\text{сечения}}}}\right)^2\)

Подставляя известные значения, получаем:

\(\frac{S}{45}\) = \(\left(\frac{h}{5h/8}\right)^2\)

\(\frac{S}{45}\) = \(\left(\frac{8}{5}\right)^2\)

\(\frac{S}{45}\) = \(\frac{64}{25}\)

Теперь решим это уравнение для нахождения площади основания пирамиды \(S\):

\(S\) = \(\frac{45 \cdot 64}{25}\) = 115,2 дм²

Ответ: площадь основания пирамиды равна 115,2 дм².

2. Дано: пирамида пересекается плоскостью, параллельной основанию.
Требуется определить связь между площадью сечения и площадью основания в зависимости от расстояний от них до вершины пирамиды.

Пусть \(S_{\text{сечения}}\) - площадь сечения, \(S\) - площадь основания.

Если плоскость пересечения параллельна основанию, то площади сечения и основания будут подобными фигурами. При этом, отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату отношения расстояний от плоскости сечения и основания до вершины пирамиды.

Математически можно записать:

\(\frac{S_{\text{сечения}}}{S}\) = \(\left(\frac{h_{\text{сечения}}}{h}\right)^2\)

где \(h_{\text{сечения}}\) - расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Таким образом, площадь сечения и площадь основания связаны пропорциональностью, где отношение площадей равно квадрату отношения расстояний от плоскости сечения и основания до вершины пирамиды.

3. Дано: треугольная пирамида DABC, где ребро DA перпендикулярно плоскости ABC, треугольник ABC является равносторонним, AD = 4 и AB = 28.
Требуется найти тангенс угла треугольника ABC.

Поскольку треугольник ABC является равносторонним, все его углы равны 60 градусов. Тангенс угла равно отношению противолежащего катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике.

Пусть \(BC\) - основание треугольной пирамиды, \(AD\) - противолежащий катет, \(AB\) - прилежащий катет.

У нас есть прямоугольный треугольник \(\triangle ABD\) с известными значениями \(AD = 4\) и \(AB = 28\). Определим \(\tan C\) с помощью тригонометрического соотношения \(\tan C = \frac{AD}{AB}\).

Подставим известные значения:

\(\tan C = \frac{4}{28} = \frac{1}{7}\)

Ответ: тангенс угла треугольника ABC равен \(\frac{1}{7}\).

Надеюсь, эти объяснения помогли вам понять решение задач. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их!