1. Какова площадь ортогональной проекции прямоугольного треугольника на плоскость, образующую угол 60° с плоскостью

1. Чтобы найти площадь ортогональной проекции прямоугольного треугольника на плоскость, образующую угол 60° с плоскостью треугольника, нам нужно найти площадь самого треугольника и затем умножить ее на косинус 60°. Давайте посмотрим на решение этой задачи.

Первым шагом нам нужно найти площадь треугольника. Для этого мы можем использовать формулу для площади прямоугольного треугольника:
\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b,\]
где \(a\) и \(b\) - длины катетов треугольника.

В нашем случае длины катетов равны 6 см и 9 см, поэтому площадь треугольника будет:
\[S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9 = 27 \, \text{см}^2.\]

Теперь нам нужно умножить площадь треугольника на косинус 60°. Для этого мы можем использовать формулу:
\[S_{\text{проекции}} = S \cdot \cos(60°).\]

Значение косинуса 60° составляет 0.5 (по таблице тригонометрических функций), поэтому:
\[S_{\text{проекции}} = 27 \cdot 0.5 = 13.5 \, \text{см}^2.\]

Таким образом, площадь ортогональной проекции прямоугольного треугольника на данную плоскость равна 13.5 квадратным сантиметрам.

2. Для каждой точки из задачи, проверим, где она находится.

а) Для плоскости хОz, у нас должно быть \(y = 0\). Проверим:
Точка А: \(y = 6\) - не лежит на плоскости хОz.
Точка В: \(y = 3\) - не лежит на плоскости хОz.
Точка С: \(y = 4\) - не лежит на плоскости хОz.
Точка D: \(y = 0\) - лежит на плоскости хОz.

б) Для оси у, у нас должны быть \(x = 0\) и \(z = 0\). Проверим:
Точка А: \(x = 0, z = 0\) - не лежит на оси у.
Точка В: \(x = 0, z = 3\) - не лежит на оси у.
Точка С: \(x = 3, z = 8\) - не лежит на оси у.
Точка D: \(x = 1, z = 9\) - не лежит на оси у.

в) Для плоскости уz, у нас должно быть \(x = 0\). Проверим:
Точка А: \(x = 0\) - лежит на плоскости уz.
Точка В: \(x = 0\) - лежит на плоскости уz.
Точка С: \(x = -2\) - не лежит на плоскости уz.
Точка D: \(x = -1\) - не лежит на плоскости уz.

Итак, в итоге:
1) Точка D(1;0;9) лежит на плоскости хОz.
2) Ни одна из этих точек не лежит на оси у.
3) Точки А(0;6;0) и В(0;3;3) лежат на плоскости уz.

3. Для доказательства того, что четырехугольник АВСD с вершинами в точках А(2;1;3), В(1;0;7), С(-2;1;5), и D(-1;2;1) является параллелограммом, нам нужно проверить, что противоположные стороны данного четырехугольника параллельны и имеют одинаковую длину.

Для начала, найдем векторы, соответствующие сторонам АВ, BC, CD и DA:
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}1-2 \\ 0-1 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix}-2-1 \\ 1-0 \\ 5-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix}-1+2 \\ 2-1 \\ 1-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{DA} = \begin{pmatrix}2-(-1) \\ 1-2 \\ 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\)

Теперь, сравним эти векторы.
Длина \(\overrightarrow{AB} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18}\)
Длина \(\overrightarrow{BC} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}\)
Длина \(\overrightarrow{CD} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{1+1+16} = \sqrt{18}\)
Длина \(\overrightarrow{DA} = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}\)

Таким образом, стороны AB и CD параллельны и имеют одинаковую длину. То же самое можно сказать и о сторонах BC и DA. Следовательно, четырехугольник АВСD является параллелограммом.

4. Чтобы найти координаты и модуль вектора ВА, мы можем использовать формулу для нахождения вектора между двумя точками:
\(\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix}x_b - x_a \\ y_b - y_a \\ z_b - z_a \end{pmatrix}\),
где (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) - координаты точек A и B соответственно.

В данном случае, точка A имеет координаты (3, -1, 2), а точка B - (5, 1, 1), поэтому:
\(\overrightarrow{BA} = \begin{pmatrix}5 - 3 \\ 1 - (-1) \\ 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Чтобы найти модуль вектора ВА, мы можем использовать формулу для нахождения длины вектора:
\(|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(2)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\).

Таким образом, координаты вектора ВА равны (2, 2, -1), а его модуль равен 3.

5. Чтобы вычислить угол между векторами СА и СВ, нам нужно использовать формулу для нахождения угла между двумя векторами:
\(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}|}\),
где \(\theta\) - искомый угол, \(\overrightarrow{CA}\) и \(\overrightarrow{CB}\) - векторы, соответствующие СА и СВ, а \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов.

Давайте найдем значения векторов и подставим их в формулу.

Вектор \(\overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix}x_c - x_a \\ y_c - y_a \\ z_c - z_a \end{pmatrix}\),
где (x_c, y_c, z_c) - координаты точки C (1, 2, -1), а (x_a, y_a, z_a) - координаты точки A (1, 3, 0).
\(\overrightarrow{CA} = \begin{pmatrix}1 - 1 \\ 2 - 3 \\ -1 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\).

Вектор \(\overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix}x_c - x_b \\ y_c - y_b \\ z_c - z_b \end{pmatrix}\),
где (x_b, y_b, z_b) - координаты точки B (2, 3, -1), а (x_c, y_c, z_c) - координаты точки C (1, 2, -1).
\(\overrightarrow{CB} = \begin{pmatrix}1 - 2 \\ 2 - 3 \\ -1 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}\).

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение и длины векторов:
\(\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (0)(-1) + (-1)(-1) + (-1)(0) = 1\),
\(|\overrightarrow{CA}| = \sqrt{(0)^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\),
\(|\overrightarrow{CB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (0)^2} = \sqrt{2}\).

Подставим значения в формулу для нахождения косинуса угла:
\(\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}\).

Наконец, чтобы найти угол \(\theta\), нам нужно найти обратный косинус от \(\frac{1}{2}\):
\(\theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ\).

Таким образом, угол между векторами СА и СВ равен 60 градусам.