1. Какова площадь многоугольника с восемью сторонами и радиусом описанной около него окружности R=16 см? Представте

Шаг 1: Найдем длину стороны многоугольника
Для начала найдем длину стороны многоугольника с помощью формулы $s=2R\sin (\frac{\pi }{n})$, где $R$ - радиус описанной около многоугольника окружности, $n$ - количество сторон многоугольника.

Для первой задачи, где многоугольник имеет восемь сторон, мы можем выразить длину стороны многоугольника следующим образом:

$$s=2\times 16\times \sin (\frac{\pi }{8})$$

Шаг 2: Найдем площадь многоугольника
Далее, чтобы найти площадь многоугольника, мы разобьем его на треугольники. Восемьугольник можно разделить на восемь равносторонних треугольников.

Каждый такой треугольник будет иметь стороны $s$, $s$ и радиус окружности $R$. Теперь можно использовать формулу для площади треугольника $S=\frac{1}{2}\times a\times b\times \sin (\theta )$, где $a$ и $b$ - длины сторон треугольника, $\theta$ - угол между этими сторонами.

Применяя эту формулу для каждого треугольника и зная, что все восемь треугольников равновелики, можем найти площадь одного треугольника и умножить на 8, чтобы получить общую площадь многоугольника.

Шаг 3: Подставим значения и вычислим ответ
Для первой задачи:
Так что общая площадь многоугольника $S_1$ будет:

$$S_1=8\times \frac{1}{2}\times s\times R$$
$$S_1=8\times \frac{1}{2}\times 2\times 16\times \sin (\frac{\pi }{8})\times 16$$

Теперь упростим выражение:

$$S_1=8\times {16}^2\times \sin (\frac{\pi }{8})$$

По задаче, ответ должен быть представлен в виде $S=?\times \sqrt{?}$ см^2. Чтобы сократить выражение, найдем значение $\sin (\frac{\pi }{8})$ и упростим его:

$$\sin (\frac{\pi }{8})\approx 0.383$$

Подставим значение $\sin (\frac{\pi }{8})$ в выражение и продолжим упрощение:

$$S_1=8\times {16}^2\times 0.383$$
$$S_1\approx 952.578{\text{ см}}^2$$

Таким образом, площадь многоугольника с восемью сторонами и радиусом описанной около него окружности $R=16$ см примерно равна $S_1\approx 952.578$ см^2.

Для второй задачи со двадцатью сторонами, процедура будет аналогичной:

Шаг 1: Найдем длину стороны многоугольника

$$s=2\times 16\times \sin (\frac{\pi }{20})$$

Шаг 2: Найдем площадь многоугольника

$$S_2=20\times \frac{1}{2}\times s\times R$$

Шаг 3: Подставим значения и вычислим ответ

$$S_2=20\times {16}^2\times \sin (\frac{\pi }{20})$$

Упростим выражение:

$$S_2\approx 341.064{\text{ см}}^2$$

Таким образом, площадь многоугольника с двадцатью сторонами и радиусом описанной около него окружности $R=16$ см примерно равна $S_2\approx 341.064$ см^2, округленная до целых.