1. Какова площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда, если одна из его сторон равна 9 см, острый угол

Давайте решим задачи поочередно.

1. Для начала, давайте определим, какие стороны прямоугольника мы уже знаем. Мы знаем, что одна из сторон равна 9 см, а острый угол составляет 60°. Эти данные нам понадобятся для решения задачи.

Мы знаем, что большая диагональ равна 29 см. Обозначим эту диагональ буквой \(D\).

Также дано, что диагональ большей боковой поверхности равна 25 см. Обозначим эту диагональ буквой \(d\).

Для нахождения площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, можно воспользоваться формулой:

\[ S = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c), \]

где \( a, b, c \) - стороны параллелепипеда.

Итак, у нас есть все данные, чтобы решить задачу.

Прежде всего, нам нужно найти стороны \(a, b, c\) параллелепипеда. Мы знаем, что одна из его сторон равна 9 см. Обозначим эту сторону \(a\).

Чтобы найти оставшиеся стороны, воспользуемся тригонометрией и данными об остром угле в 60° и диагоналях.

Следующие формулы помогут нам:

\[ a = \frac{d \sqrt{3}}{2}, \]
\[ b = \frac{D}{\sqrt{3}}, \]
\[ c = \frac{d}{2}. \]

Подставим значения из условия задачи:

\[ a = \frac{25 \cdot \sqrt{3}}{2}, \]
\[ b = \frac{29}{\sqrt{3}}, \]
\[ c = \frac{25}{2}. \]

Теперь, когда у нас есть все стороны прямоугольного параллелепипеда, можем найти площадь его боковой поверхности, используя формулу:

\[ S = 2 \cdot (a \cdot b + a \cdot c + b \cdot c). \]

Подставим значения:

\[ S = 2 \cdot \left(\frac{25 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{29}{\sqrt{3}} + \frac{25 \cdot \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{25}{2} + \frac{29}{\sqrt{3}} \cdot \frac{25}{2}\right). \]

А теперь вычислим это значение:

\[ S = 2 \cdot (14 \cdot 25 \sqrt{3} + 25^2 \sqrt{3} + 29 \cdot 25).\]

После всех вычислений окончательный ответ:

\[ S = 2 \cdot (350\sqrt{3} + 625\sqrt{3} + 725).\]