1) Какова площадь боковой поверхности призмы, если сторона основания равна 8 см, а радиус описанного вокруг него шара

1) Для расчета площади боковой поверхности призмы мы должны знать высоту призмы и периметр основания. В данной задаче даны данные о стороне основания и радиусе описанного вокруг него шара.
Обратимся к свойству призмы: боковые грани призмы являются прямоугольниками со сторонами, равными периметрам основания и высоте призмы.

Периметр основания данной прямоугольной призмы равен 8 см + 8 см + 8 см + 8 см = 32 см.

Теперь нам нужно узнать высоту призмы. Для этого обратимся к радиусу описанного вокруг основания шара. Радиус описанной окружности и сторона основания прямоугольника связаны следующим образом:
\(Радиус = \frac{{Диагональ \quad прямоугольника}}{{2}}\).

Так как радиус описанного вокруг основания шара равен 9 см, диагональ прямоугольника будет равна 2 * радиус = 2 * 9 см = 18 см.

Далее, зная диагональ прямоугольника и одну сторону, можно применить теорему Пифагора, чтобы найти вторую сторону прямоугольника. Так как в прямоугольнике у нас две стороны, то одна из них — это сторона основания, которая равна 8 см. Обозначим вторую сторону как \(b\) см.

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника: \(a^2 + b^2 = c^2\), где \(a\) и \(b\) — катеты, а \(c\) — гипотенуза.

Решим данное уравнение: \(8^2 + b^2 = 18^2\).

\(64 + b^2 = 324\).

Получаем \(b^2 = 260\).

Извлекаем корень: \(b = \sqrt{260} \approx 16,12\).

Теперь у нас есть периметр основания и высота призмы. Мы можем рассчитать площадь боковой поверхности призмы, используя формулу:
\(Площадь \quad боковой \quad поверхности \quad призмы = Периметр \quad основания \quad * \quad Высота\).

Подставим значения: \(Площадь \quad боковой \quad поверхности \quad призмы = 32 \quad см * \quad 16,12 \quad см \approx 515,84 \quad см^2\).

Таким образом, площадь боковой поверхности призмы составляет около 515,84 квадратных сантиметров.

2) Чтобы вычислить радиус шара, вписанного в правильную шестиугольную пирамиду, нам необходимо знать радиус окружности, описанной около основания пирамиды, а также двугранный угол при ребре основания пирамиды.

В правильной шестиугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен 45°, что означает, что угол между ребром основания и крышкой пирамиды составляет 45°.

Теперь, используя свойства правильной шестиугольной пирамиды, мы знаем, что радиус окружности, описанной около основания, равен 12π см.

Также, известно, что радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды, равен половине длины стороны правильного шестиугольника, обозначим его как \(R\).

Двугранный угол пирамиды с вершиной в центре основания является углом, образованным между катетом (половиной основания) и гипотенузой (радиус окружности, описанной вокруг основания). Мы знаем, что этот угол равен 45°.

Так как это прямоугольный треугольник, мы можем использовать тригонометрические соотношения, чтобы найти длину стороны основания пирамиды. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету.

Тангенс 45° = \(\frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}\).

Мы знаем, что прилежащий катет равен радиусу окружности, описанной вокруг основания пирамиды \(R\), а противолежащий катет — половина стороны правильного шестиугольника \(\frac{{R}}{2}\).

Тангенс 45° = \(\frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}}\).

Используя значение тангенса 45° (которое равно 1), получим:

1 = \(\frac{{\frac{{R}}{2}}}{{R}}\).

Путем решения данного уравнения мы находим R = 2.

Теперь у нас есть радиус окружности, описанной вокруг основания пирамиды (R = 2) и радиус окружности, описанной около основания пирамиды (12π).

Чтобы вычислить радиус шара, вписанного в пирамиду, мы можем использовать следующее свойство: радиус шара, вписанного в пирамиду, равен трети ребра пирамиды (R = \(\frac{{r}}{3}\)).

Получаем \(r = 3 * R = 3 * 2 = 6\).

Таким образом, радиус шара, вписанного в данную пирамиду, равен 6 сантиметрам.

3) Для расчета площади боковой поверхности цилиндра, содержащегося в шаре, нам необходимо знать радиус шара и высоту цилиндра.

Дано, что радиус шара равен 7 см. Так как шар полностью содержит в себе цилиндр, высота цилиндра будет равна диаметру его основания. Диаметр равен двум радиусам, то есть 2 * 7 = 14 см.

Теперь мы можем приступить к расчету площади боковой поверхности цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти с использованием формулы:
\(Площадь \quad боковой \quad поверхности \quad цилиндра = 2\pi \times \text{{радиус}} \times \text{{высота}}\).

Подставим значения: \(Площадь \quad боковой \quad поверхности \quad цилиндра = 2\pi \times 7 \times 14 = 28\pi \times 14 \approx 1239,88 \quad см^2\).

Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра составляет около 1239,88 квадратных сантиметров.