1. Какова площадь боковой поверхности цилиндра, если его высота равна 8 и угол между пересекающимися плоскостями

1. Начнем с нахождения площади боковой поверхности цилиндра. Для этого нам понадобятся высота \(h\) и радиус основания \(r\) цилиндра. Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле \(S = 2\pi rh\), где \(\pi\) - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14.
Так как высота цилиндра равна 8, нам нужно найти радиус основания. Для этого мы можем воспользоваться свойством треугольника, образованного полуоснованиями и высотой цилиндра. Рассмотрим этот треугольник. У нас есть две известные стороны: высота цилиндра, равная 8, и расстояние между плоскостями, равное радиусу \(R\) окружности. Также известно, что угол между плоскостями составляет 60 градусов. Теперь посмотрим на получившийся треугольник.

2. Чтобы найти острый угол между диагоналями развертки боковой поверхности цилиндра, рассмотрим сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра и одну из его диагоналей. Это сечение будет представлять собой прямоугольный треугольник, угол противолежащий диагонали цилиндра будет равен острому углу между диагоналями развертки.

3. Чтобы определить, можно ли вписать шар в данный цилиндр, нужно учитывать их геометрические свойства. Шар можно вписать в цилиндр, если диаметр шара меньше или равен высоте цилиндра, и диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Чтобы найти отношение объемов шара и цилиндра, мы должны знать их формулы объемов.

4. Площадь поверхности шара, описанного вокруг данного цилиндра, можно найти по формуле \(S = 4\pi R^{2}\), где \(R\) - радиус шара, который равен радиусу основания цилиндра. Опять же, чтобы точно ответить на этот вопрос необходимо знать радиус основания цилиндра. Мы можем найти его, используя сходство треугольников, образованных высотой, радиусом основания и полуоснованием треугольника. Основное значение будет равно \(R\), где \(R = r\).