1) Какова область определения функции y=ctg(x/4)? 2) Какой является наименьший положительный период указанной функции?

1) Область определения функции y=ctg(x/4) можно найти, зная что ctg(x) - это котангенс функции tang(x). Котангенс определен как 1/tang(x). Таким образом, чтобы найти область определения функции y=ctg(x/4), мы должны определить, когда tang(x/4) не равно нулю.

Поскольку tang(x) = sin(x)/cos(x), то tang(x/4) = sin(x/4)/cos(x/4). Значение cos(x) равно нулю, когда x равно (2k+1)π/2, где k - целое число. Таким образом, чтобы tang(x/4) не равнялся нулю, cos(x/4) должен быть неравен нулю, то есть x/4 не должен быть равен точкам x = (2k+1)π/2, где k - целое число.

Обозначим эти точки как x₀ = (2k+1)π/2. Запишем это в условии:
x/4 ≠ x₀

Теперь найдем область определения, объединив все интервалы между точками x₀:
(-∞, x₀₁) ∪ (x₀₁, x₀₂) ∪ (x₀₂, x₀₃) ∪ ... ∪ (x₀ₙ₋₁, x₀ₙ) ∪ (x₀ₙ, +∞)

В каждом из этих интервалов функция y=ctg(x/4) определена. Ответом на первый вопрос является область определения функции y=ctg(x/4), записанная через интервалы между точками x₀.

2) Чтобы найти наименьший положительный период функции y=ctg(x/4), мы должны найти такое положительное число T, при котором функция y=ctg(x/4) имеет такое же значение после прибавления T к аргументу x.

При анализе комплексного значения tang(x/4) относительно x(x/4) мы можем заметить, что тангенс имеет период π. Это означает, что tang(x/4) можно записать так: tang(x/4 + π) = tang(x/4).

Теперь переведем это в термины функции y=ctg(x/4). Мы знаем, что ctg(x) = 1/tang(x), поэтому:
1/tang(x/4 + π) = ctg(x/4 + π) = 1/tang(x/4) = ctg(x/4).

Если мы заменим x/4 на x, получим:
ctg(x + π) = ctg(x).

Таким образом, функция y=ctg(x/4) имеет ту же самую функцию ctg(x) через каждый положительный интервал длиной π.

Ответом на второй вопрос является наименьший положительный период функции y=ctg(x/4), который равен π.