1. Какова длина стороны правильного восьмиугольника, который вписан в окружность, если периметр правильного

1. Для начала, давайте разберемся с задачей. Нам дан правильный треугольник, вписанный в окружность, и его периметр равен 45 см. Теперь нам нужно найти длину стороны правильного восьмиугольника, также вписанного в эту окружность.

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать связь между периметром правильного треугольника и периметром правильного восьмиугольника, вписанного в одну и ту же окружность. Обратимся к формулам, которые связывают периметры треугольника и восьмиугольника с радиусом окружности.

Формула для периметра правильного треугольника:
\[P_{\text{треугольника}} = 3 \times a,\]
где \(a\) - длина стороны треугольника.

Формула для периметра правильного восьмиугольника:
\[P_{\text{восьмиугольника}} = 8 \times a,\]
где \(a\) - длина стороны восьмиугольника.

Зная это, мы можем записать уравнение:
\[P_{\text{треугольника}} = P_{\text{восьмиугольника}}.\]

Подставим известные значения:
\[3 \times a = 8 \times a.\]

Теперь мы можем решить это уравнение, используя алгебруические методы. Поскольку сторона не может быть равна нулю, мы можем сократить \(a\) с обеих сторон уравнения:
\[3 = 8.\]

Таким образом, уравнение не имеет решений. Это означает, что в данной задаче нет правильного восьмиугольника, который может быть вписан в окружность с периметром равным 45 см.

2. Вторая задача заключается в нахождении площади окружности, ограничивающей вписанный в нее квадрат. Дано, что площадь квадрата равна 72 дм2.

Для решения задачи, нам пригодится формула для нахождения площади квадрата, используя длину его стороны. Мы можем записать эту формулу следующим образом:
\[S_{\text{квадрата}} = a^2,\]
где \(a\) - длина стороны квадрата.

Дано, что \(S_{\text{квадрата}} = 72\) дм2. Подставим это значение в формулу:
\[72 = a^2.\]

Теперь нам нужно найти значение длины стороны квадрата. Для этого возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:
\[\sqrt{72} = \sqrt{a^2}.\]

Упростим:
\[6\sqrt{2} = a.\]

Таким образом, длина стороны квадрата равна \(6\sqrt{2}\) дм.

Теперь, чтобы найти площадь окружности, воспользуемся формулой для нахождения площади окружности:
\[S_{\text{окружности}} = \pi r^2,\]
где \(r\) - радиус окружности.

Так как квадрат вписан в ограничивающую его окружность, радиус окружности равен половине длины стороны квадрата. Подставим известное значение:
\[S_{\text{окружности}} = \pi \left(\frac{6\sqrt{2}}{2}\right)^2.\]

Упростим выражение:
\[S_{\text{окружности}} = \pi \cdot 18.\]

Таким образом, площадь этой окружности равна \(18\pi\) дм2.

3. В третьей задаче нам даны радиус окружности (\(r = 3\,см\)) и градусная мера дуги (\(150°\)). Нам нужно найти длину этой дуги.

Для решения задачи, нам следует использовать формулу для нахождения длины дуги окружности:
\[L = \frac{\theta}{360°} \cdot 2\pi r,\]
где \(L\) - длина дуги, а \(\theta\) - градусная мера дуги.

Подставим известные значения:
\[L = \frac{150°}{360°} \cdot 2\pi \cdot 3\,см.\]

Упростим выражение:
\[L = \frac{5}{12} \cdot 2\pi \cdot 3\,см.\]

Умножим и упростим:
\[L = \frac{5}{6} \pi \cdot 3\,см.\]

Таким образом, длина данной дуги равна \(\frac{5}{2} \pi\) см.