1) Какова длина стороны основания правильной треугольной призмы, если известно, что боковое ребро равно 6, а диагональ

1) Длина стороны основания правильной треугольной призмы можно найти, используя теорему Пифагора.

Обозначим сторону основания как \(a\), диагональ боковой грани как \(d\) и боковое ребро как \(b\).

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(d\), имеем:
\[a^2 + b^2 = d^2\]

В нашем случае известно, что \(b = 6\) и \(d = 10\). Подставим эти значения в уравнение и решим его:

\[a^2 + 6^2 = 10^2\]
\[a^2 + 36 = 100\]
\[a^2 = 64\]
\[a = \sqrt{64} = 8\]

Таким образом, длина стороны основания равна 8.

2) Чтобы найти высоту призмы, нужно воспользоваться теоремой Пифагора и сведениями о серединах треугольника.

Обозначим сторону основания как \(c\), высоту призмы как \(h\) и значения \(A1K\) и \(BC\) как 13 и 10 соответственно.

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника со сторонами \(c\), \(h\) и гипотенузой \(13\) имеем:
\[c^2 + h^2 = 13^2\]

Также, по свойствам середин треугольника, известно, что \(KH = \frac{1}{2}AC\).

Обозначим \(KH\) как \(x\). Тогда \(AC = 2x\) и \(BC = 10\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами \(BC\), \(x\) и гипотенузой \(h\) получим:
\[x^2 + h^2 = 10^2\]

Мы имеем две уравнения с двумя неизвестными. Решим эту систему уравнений:

\[
\begin{cases}
c^2 + h^2 = 13^2 \\
x^2 + h^2 = 10^2
\end{cases}
\]

Из первого уравнения выразим \(c^2\) и подставим во второе уравнение:
\[(13^2 - h^2) + h^2 = 10^2\]
\[169 - h^2 + h^2 = 100\]
\[h^2 = 169 - 100\]
\[h^2 = 69\]
\[h = \sqrt{69}\]

Таким образом, высота призмы равна \(\sqrt{69}\).

3) Чтобы найти высоту прямоугольной треугольной призмы, нужно использовать теорему Пифагора и свойства середин треугольника.

Обозначим высоту как \(h\), значение \(BM\) как \(y\) и значение \(AB\) как \(6\).

Согласно теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника со сторонами \(AB\), \(h\) и гипотенузой \(y\) имеем:
\[6^2 + h^2 = y^2\]

По свойствам середин треугольника, \(CM = \frac{1}{2}AB\).

Обозначим \(CM\) как \(x\). Тогда \(AB = 2x\) и \(BM = 10\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами \(BM\), \(x\) и гипотенузой \(y\) получим:
\[x^2 + y^2 = 10^2\]

Мы имеем два уравнения с двумя неизвестными. Решим эту систему уравнений:

\[
\begin{cases}
6^2 + h^2 = y^2 \\
x^2 + y^2 = 10^2
\end{cases}
\]

Из первого уравнения выразим \(y^2\) и подставим во второе уравнение:
\[(6^2 + h^2) + h^2 = 10^2\]
\[36 + h^2 + h^2 = 100\]
\[2h^2 = 100 - 36\]
\[h^2 = \frac{64}{2}\]
\[h^2 = 32\]
\[h = \sqrt{32}\]

Таким образом, высота призмы равна \(\sqrt{32}\).

4) Чтобы найти длину стороны основания призмы, нужно использовать теорему Пифагора и свойства середин треугольника.

Обозначим сторону основания как \(d\), точку \(K\) как середину ребра \(AC\) и значение \(AB\) как \(a\).

По свойствам середин треугольника, \(CK = \frac{1}{2}AB\).

Обозначим \(CK\) как \(x\). Тогда \(AB = 2x\) и \(BC = 10\). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами \(BC\), \(x\) и гипотенузой \(d\) получим:
\[x^2 + d^2 = 10^2\]

Мы имеем уравнение с двумя неизвестными. Решим его:

\[x^2 + d^2 = 10^2\]
\[d^2 = 10^2 - x^2\]
\[d = \sqrt{10^2 - x^2}\]

Таким образом, длина стороны основания призмы равна \(\sqrt{10^2 - x^2}\).