1. Какова длина стороны ab треугольника abc, если известны координаты его вершин a(2; 5) и b(14; -4)?
2. Каким образом можно записать уравнения сторон ab и bc треугольника abc, используя их координаты и угловые коэффициенты?
3. Каков угол ψ в радианах между прямыми ab и bc, если даны координаты вершин треугольника abc?
4. Как записать уравнение высоты cd треугольника abc и определить ее длину, зная координаты вершин a(2; 5), b(14; -4) и c(18; 18)?
2. Каким образом можно записать уравнения сторон ab и bc треугольника abc, используя их координаты и угловые коэффициенты?
3. Каков угол ψ в радианах между прямыми ab и bc, если даны координаты вершин треугольника abc?
4. Как записать уравнение высоты cd треугольника abc и определить ее длину, зная координаты вершин a(2; 5), b(14; -4) и c(18; 18)?
Радуга_На_Небе
1. Для нахождения длины стороны \(ab\) треугольника \(abc\) по известным координатам его вершин \(a(2; 5)\) и \(b(14; -4)\) мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.
Формула расстояния между двумя точками \(A(x_1; y_1)\) и \(B(x_2; y_2)\) выглядит следующим образом:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
Применяя эту формулу к вершинам \(a(2; 5)\) и \(b(14; -4)\), получим:
\[d = \sqrt{{(14 - 2)^2 + (-4 - 5)^2}}\]
\[d = \sqrt{{12^2 + (-9)^2}}\]
\[d = \sqrt{{144 + 81}}\]
\[d = \sqrt{{225}}\]
\[d = 15\]
Таким образом, длина стороны \(ab\) треугольника \(abc\) равна 15.
2. Уравнение стороны \(ab\) треугольника \(abc\) можно записать, используя координаты вершин \(a(2; 5)\) и \(b(14; -4)\) и угловой коэффициент прямой, проходящей через эти точки.
Угловой коэффициент прямой \(k\) можно найти, используя формулу:
\[k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
Применяя эту формулу к точкам \(a(2; 5)\) и \(b(14; -4)\), получим:
\[k = \frac{{-4 - 5}}{{14 - 2}}\]
\[k = \frac{{-9}}{{12}}\]
\[k = -\frac{{3}}{{4}}\]
Теперь, используя формулу уравнения прямой вида \(y = kx + b\), подставим полученный угловой коэффициент \(k = -\frac{{3}}{{4}}\) и координаты одной из двух вершин в это уравнение. Для примера, подставим координаты вершины \(a(2; 5)\):
\[5 = -\frac{{3}}{{4}} \cdot 2 + b\]
\[5 = -\frac{{3}}{{2}} + b\]
\[b = 5 + \frac{{3}}{{2}}\]
\[b = 5 + 1.5\]
\[b = 6.5\]
Таким образом, уравнение стороны \(ab\) треугольника \(abc\) будет иметь вид \(y = -\frac{{3}}{{4}}x + 6.5\). Аналогичным образом можно найти уравнение стороны \(bc\) треугольника \(abc\).
3. Для нахождения угла \(\psi\) между прямыми \(ab\) и \(bc\) при заданных координатах вершин треугольника \(abc\), мы можем использовать угловой коэффициент прямых и формулу:
\[\tan{\psi} = \left|\frac{{k_2 - k_1}}{{1 + k_1 \cdot k_2}}\right|\]
Где \(k_1\) и \(k_2\) - угловые коэффициенты прямых.
Для того чтобы использовать эту формулу, нам нужно найти угловые коэффициенты прямых, проходящих через стороны \(ab\) и \(bc\) треугольника \(abc\), используя их координаты.
Угловой коэффициент прямой \(k\) можно найти, используя формулу:
\[k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
Применяя эту формулу к точкам \(a(2; 5)\) и \(b(14; -4)\), получим угловой коэффициент прямой \(k_1\):
\[k_1 = \frac{{-4 - 5}}{{14 - 2}}\]
\[k_1 = \frac{{-9}}{{12}}\]
\[k_1 = -\frac{{3}}{{4}}\]
Аналогично, для нахождения углового коэффициента прямой \(k_2\) через точки \(b(14; -4)\) и \(c(18; 18)\):
\[k_2 = \frac{{18 - (-4)}}{{18 - 14}}\]
\[k_2 = \frac{{22}}{{4}}\]
\[k_2 = \frac{{11}}{{2}}\]
Подставим эти значения в формулу для нахождения угла \(\psi\):
\[\tan{\psi} = \left|\frac{{\frac{{11}}{{2}} - \left(-\frac{{3}}{{4}}\right)}}{{1 + \left(-\frac{{3}}{{4}}\right) \cdot \frac{{11}}{{2}}}}\right|\]
С помощью калькулятора найдем тангенс угла \(\psi\):
\[\tan{\psi} = \left|\frac{{4.5}}{{7.75}}\right|\]
\[\tan{\psi} \approx 0.5806\]
Теперь, найдем сам угол \(\psi\) с помощью функции арктангенса:
\[\psi = \arctan{0.5806}\]
\[\psi \approx 29.97^\circ\]
Таким образом, угол \(\psi\) между прямыми \(ab\) и \(bc\) при заданных координатах вершин треугольника \(abc\) равен примерно \(29.97^\circ\) или примерно \(0.52\) радиан.
4. Чтобы записать уравнение высоты \(cd\) треугольника \(abc\) и определить ее длину, зная координаты вершин \(a(2; 5)\), \(b(14; -4)\) и \(c(18; 18)\), мы можем использовать свойство высоты, заключающееся в том, что она является перпендикуляром к основанию (стороне) треугольника и проходит через его вершину.
1. Для того чтобы найти координаты точки \(d\), через которую проходит высота \(cd\), мы можем использовать свойство того, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1.
Угловой коэффициент прямой \(k_{cd}\), являющейся высотой, будет перпендикулярен угловому коэффициенту прямой \(k_{ab}\), т.е.:
\[k_{cd} \cdot k_{ab} = -1\]
Находим угловые коэффициенты прямых \(k_{cd}\) и \(k_{ab}\) по координатам точек:
Для \(k_{ab}\), проходящий через точки a(2; 5) и b(14; -4):
\[k_{ab} = \frac{{-4 - 5}}{{14 - 2}}\]
\[k_{ab} = -\frac{{9}}{{12}}\]
\[k_{ab} = -\frac{{3}}{{4}}\]
Для \(k_{cd}\), проходящий через точки c(18; 18) и d(x; y):
\[k_{cd} = \frac{{y - 18}}{{x - 18}}\]
Подставим \(k_{ab}\) в уравнение \(k_{cd} \cdot k_{ab} = -1\):
\[\left(\frac{{y - 18}}{{x - 18}}\right) \cdot \left(-\frac{{3}}{{4}}\right) = -1\]
Решим это уравнение относительно переменной \(y\):
\[\frac{{y - 18}}{{x - 18}} = \frac{{-4}}{{3}}\]
\[3(y - 18) = -4(x - 18)\]
\[3y - 54 = -4x + 72\]
\[3y + 4x = 126\]
Таким образом, уравнение \(cd\) треугольника \(abc\) будет иметь вид \(3y + 4x = 126\).
2. Чтобы определить длину высоты \(cd\), нам нужно найти ее длину как расстояние между точкой \(d\) и прямой \(ab\). Для этого мы можем воспользоваться формулой расстояния между точкой и прямой.
Формула расстояния от точки \(D(x_0; y_0)\) до прямой \(ax + by + c = 0\) выглядит следующим образом:
\[d = \frac{{\left| a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \right|}}{{\sqrt{{a^2 + b^2}}}}\]
В нашем случае, уравнение прямой \(ab\) имеет вид \(3y + 4x = 126\), и точка \(d\) задана координатами \(d(x_0; y_0)\), которые мы хотим найти.
Подставим уравнение прямой \(ab\) в формулу расстояния, используя координаты \(d(x_0; y_0)\):
\[d = \frac{{\left| 3 \cdot x_0 + 4 \cdot y_0 - 126 \right|}}{{\sqrt{{3^2 + 4^2}}}}\]
Теперь нам нужно найти такие координаты \(d(x_0; y_0)\), которые минимизируют расстояние \(d\) от точки \(d\) до прямой \(ab\). Для этого будем дифференцировать расстояние \(d\) по переменным \(x_0\) и \(y_0\), и приравнивать производные к нулю.
Получим систему уравнений:
\[\frac{{\partial d}}{{\partial x_0}} = \frac{{3}}{{\sqrt{{3^2 + 4^2}}}} \cdot \frac{{\left| 3 \cdot x_0 + 4 \cdot y_0 - 126 \right|}}{{3 \cdot x_0 + 4 \cdot y_0 - 126}} = 0\]
\[\frac{{\partial d}}{{\partial y_0}} = \frac{{4}}{{\sqrt{{3^2 + 4^2}}}} \cdot \frac{{\left| 3 \cdot x_0 + 4 \cdot y_0 - 126 \right|}}{{3 \cdot x_0 + 4 \cdot y_0 - 126}} = 0\]
Решим эту систему уравнений методом подстановки.
Формула расстояния между двумя точками \(A(x_1; y_1)\) и \(B(x_2; y_2)\) выглядит следующим образом:
\[d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\]
Применяя эту формулу к вершинам \(a(2; 5)\) и \(b(14; -4)\), получим:
\[d = \sqrt{{(14 - 2)^2 + (-4 - 5)^2}}\]
\[d = \sqrt{{12^2 + (-9)^2}}\]
\[d = \sqrt{{144 + 81}}\]
\[d = \sqrt{{225}}\]
\[d = 15\]
Таким образом, длина стороны \(ab\) треугольника \(abc\) равна 15.
2. Уравнение стороны \(ab\) треугольника \(abc\) можно записать, используя координаты вершин \(a(2; 5)\) и \(b(14; -4)\) и угловой коэффициент прямой, проходящей через эти точки.
Угловой коэффициент прямой \(k\) можно найти, используя формулу:
\[k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
Применяя эту формулу к точкам \(a(2; 5)\) и \(b(14; -4)\), получим:
\[k = \frac{{-4 - 5}}{{14 - 2}}\]
\[k = \frac{{-9}}{{12}}\]
\[k = -\frac{{3}}{{4}}\]
Теперь, используя формулу уравнения прямой вида \(y = kx + b\), подставим полученный угловой коэффициент \(k = -\frac{{3}}{{4}}\) и координаты одной из двух вершин в это уравнение. Для примера, подставим координаты вершины \(a(2; 5)\):
\[5 = -\frac{{3}}{{4}} \cdot 2 + b\]
\[5 = -\frac{{3}}{{2}} + b\]
\[b = 5 + \frac{{3}}{{2}}\]
\[b = 5 + 1.5\]
\[b = 6.5\]
Таким образом, уравнение стороны \(ab\) треугольника \(abc\) будет иметь вид \(y = -\frac{{3}}{{4}}x + 6.5\). Аналогичным образом можно найти уравнение стороны \(bc\) треугольника \(abc\).
3. Для нахождения угла \(\psi\) между прямыми \(ab\) и \(bc\) при заданных координатах вершин треугольника \(abc\), мы можем использовать угловой коэффициент прямых и формулу:
\[\tan{\psi} = \left|\frac{{k_2 - k_1}}{{1 + k_1 \cdot k_2}}\right|\]
Где \(k_1\) и \(k_2\) - угловые коэффициенты прямых.
Для того чтобы использовать эту формулу, нам нужно найти угловые коэффициенты прямых, проходящих через стороны \(ab\) и \(bc\) треугольника \(abc\), используя их координаты.
Угловой коэффициент прямой \(k\) можно найти, используя формулу:
\[k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]
Применяя эту формулу к точкам \(a(2; 5)\) и \(b(14; -4)\), получим угловой коэффициент прямой \(k_1\):
\[k_1 = \frac{{-4 - 5}}{{14 - 2}}\]
\[k_1 = \frac{{-9}}{{12}}\]
\[k_1 = -\frac{{3}}{{4}}\]
Аналогично, для нахождения углового коэффициента прямой \(k_2\) через точки \(b(14; -4)\) и \(c(18; 18)\):
\[k_2 = \frac{{18 - (-4)}}{{18 - 14}}\]
\[k_2 = \frac{{22}}{{4}}\]
\[k_2 = \frac{{11}}{{2}}\]
Подставим эти значения в формулу для нахождения угла \(\psi\):
\[\tan{\psi} = \left|\frac{{\frac{{11}}{{2}} - \left(-\frac{{3}}{{4}}\right)}}{{1 + \left(-\frac{{3}}{{4}}\right) \cdot \frac{{11}}{{2}}}}\right|\]
С помощью калькулятора найдем тангенс угла \(\psi\):
\[\tan{\psi} = \left|\frac{{4.5}}{{7.75}}\right|\]
\[\tan{\psi} \approx 0.5806\]
Теперь, найдем сам угол \(\psi\) с помощью функции арктангенса:
\[\psi = \arctan{0.5806}\]
\[\psi \approx 29.97^\circ\]
Таким образом, угол \(\psi\) между прямыми \(ab\) и \(bc\) при заданных координатах вершин треугольника \(abc\) равен примерно \(29.97^\circ\) или примерно \(0.52\) радиан.
4. Чтобы записать уравнение высоты \(cd\) треугольника \(abc\) и определить ее длину, зная координаты вершин \(a(2; 5)\), \(b(14; -4)\) и \(c(18; 18)\), мы можем использовать свойство высоты, заключающееся в том, что она является перпендикуляром к основанию (стороне) треугольника и проходит через его вершину.
1. Для того чтобы найти координаты точки \(d\), через которую проходит высота \(cd\), мы можем использовать свойство того, что произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно -1.
Угловой коэффициент прямой \(k_{cd}\), являющейся высотой, будет перпендикулярен угловому коэффициенту прямой \(k_{ab}\), т.е.:
\[k_{cd} \cdot k_{ab} = -1\]
Находим угловые коэффициенты прямых \(k_{cd}\) и \(k_{ab}\) по координатам точек:
Для \(k_{ab}\), проходящий через точки a(2; 5) и b(14; -4):
\[k_{ab} = \frac{{-4 - 5}}{{14 - 2}}\]
\[k_{ab} = -\frac{{9}}{{12}}\]
\[k_{ab} = -\frac{{3}}{{4}}\]
Для \(k_{cd}\), проходящий через точки c(18; 18) и d(x; y):
\[k_{cd} = \frac{{y - 18}}{{x - 18}}\]
Подставим \(k_{ab}\) в уравнение \(k_{cd} \cdot k_{ab} = -1\):
\[\left(\frac{{y - 18}}{{x - 18}}\right) \cdot \left(-\frac{{3}}{{4}}\right) = -1\]
Решим это уравнение относительно переменной \(y\):
\[\frac{{y - 18}}{{x - 18}} = \frac{{-4}}{{3}}\]
\[3(y - 18) = -4(x - 18)\]
\[3y - 54 = -4x + 72\]
\[3y + 4x = 126\]
Таким образом, уравнение \(cd\) треугольника \(abc\) будет иметь вид \(3y + 4x = 126\).
2. Чтобы определить длину высоты \(cd\), нам нужно найти ее длину как расстояние между точкой \(d\) и прямой \(ab\). Для этого мы можем воспользоваться формулой расстояния между точкой и прямой.
Формула расстояния от точки \(D(x_0; y_0)\) до прямой \(ax + by + c = 0\) выглядит следующим образом:
\[d = \frac{{\left| a \cdot x_0 + b \cdot y_0 + c \right|}}{{\sqrt{{a^2 + b^2}}}}\]
В нашем случае, уравнение прямой \(ab\) имеет вид \(3y + 4x = 126\), и точка \(d\) задана координатами \(d(x_0; y_0)\), которые мы хотим найти.
Подставим уравнение прямой \(ab\) в формулу расстояния, используя координаты \(d(x_0; y_0)\):
\[d = \frac{{\left| 3 \cdot x_0 + 4 \cdot y_0 - 126 \right|}}{{\sqrt{{3^2 + 4^2}}}}\]
Теперь нам нужно найти такие координаты \(d(x_0; y_0)\), которые минимизируют расстояние \(d\) от точки \(d\) до прямой \(ab\). Для этого будем дифференцировать расстояние \(d\) по переменным \(x_0\) и \(y_0\), и приравнивать производные к нулю.
Получим систему уравнений:
\[\frac{{\partial d}}{{\partial x_0}} = \frac{{3}}{{\sqrt{{3^2 + 4^2}}}} \cdot \frac{{\left| 3 \cdot x_0 + 4 \cdot y_0 - 126 \right|}}{{3 \cdot x_0 + 4 \cdot y_0 - 126}} = 0\]
\[\frac{{\partial d}}{{\partial y_0}} = \frac{{4}}{{\sqrt{{3^2 + 4^2}}}} \cdot \frac{{\left| 3 \cdot x_0 + 4 \cdot y_0 - 126 \right|}}{{3 \cdot x_0 + 4 \cdot y_0 - 126}} = 0\]
Решим эту систему уравнений методом подстановки.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
