1) Какова длина отрезка АС, если известно, что АВ равен 3, ВС равен корню из двух, а угол В равен 135 градусов? 2) Чему

Задача 1:
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой косинусов, которая гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C,\]
где \(c\) — длина отрезка AC, \(a\) и \(b\) — длины отрезков AB и BC соответственно, а \(C\) — размер угла B.

Итак, у нас дано:
AB = 3,
BC = \(\sqrt{2}\),
угол В = 135 градусов.

Для начала, посчитаем значение косинуса угла B:
\[\cos B = \cos 135^{\circ} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.\]
Теперь мы можем применить теорему косинусов для нахождения длины отрезка AC:
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B.\]
Подставим значения:
\[AC^2 = 3^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right).\]
Упростим выражение:
\[AC^2 = 9 + 2 + 6 = 17.\]
Для получения длины отрезка AC возьмем корень из обеих частей уравнения:
\[AC = \sqrt{17} \approx 4.12.\]

Итак, длина отрезка AC равна примерно 4.12.

Задача 2:
Для решения этой задачи также воспользуемся теоремой косинусов.

У нас дано:
DF = 2,
DE = \(\sqrt{2}\),
угол D = 45 градусов.

Сначала определим значение косинуса угла D:
\[\cos D = \cos 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\]
Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения длины отрезка EF:
\[EF^2 = DE^2 + DF^2 - 2 \cdot DE \cdot DF \cdot \cos D.\]
Подставим значения:
\[EF^2 = (\sqrt{2})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.\]
Упростим выражение:
\[EF^2 = 2 + 4 - 2 \cdot 2 = 2.\]
Возьмем корень из обеих частей уравнения:
\[EF = \sqrt{2}.\]

Таким образом, длина отрезка EF равна \(\sqrt{2}\).