1. Какова длина кривой линии, образованной пересечением плоскости xy и сферы радиусом r=5 с центром в точке a(2

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.

1. Для нахождения длины кривой линии, образованной пересечением плоскости xy и сферы, нам нужно найти точки пересечения плоскости и сферы.

Уравнение сферы с центром в точке a(2; 4; 3) и радиусом r=5 будет иметь вид:
\((x-2)^2 + (y-4)^2 + (z-3)^2 = 5^2\)

Так как плоскость xy проходит через начало координат (0; 0; 0), ее уравнение будет иметь вид: \(z = 0\)

Подставим значение z=0 в уравнение сферы:
\((x-2)^2 + (y-4)^2 + (0-3)^2 = 25\)
\((x-2)^2 + (y-4)^2 + 9 = 25\)
\((x-2)^2 + (y-4)^2 = 16\)

Теперь решим это уравнение. При подстановке у нас получится круг радиусом 4 и центром в точке (2; 4):

\[x = 2 + 4\cos(t)\]
\[y = 4 + 4\sin(t)\]
\[z = 0\]

Для нахождения длины кривой линии применим формулу интеграла:
\[L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{{\left(\frac{{dx}}{{dt}}\right)}^2 + {\left(\frac{{dy}}{{dt}}\right)}^2 + {\left(\frac{{dz}}{{dt}}\right)}^2} \, dt\]

Мы уже определили значения x и y, поэтому нам нужны только производные:
\(\frac{{dx}}{{dt}} = -4\sin(t)\)
\(\frac{{dy}}{{dt}} = 4\cos(t)\)
\(\frac{{dz}}{{dt}} = 0\)

Применим формулу:
\[L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{{(-4\sin(t))^2 + (4\cos(t))^2 + 0^2}} \, dt\]
\[L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{16\sin^2(t) + 16\cos^2(t)} \, dt\]
\[L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{16(\sin^2(t) + \cos^2(t))} \, dt\]
\[L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{16} \, dt\]
\[L = \int_{0}^{2\pi} 4 \, dt\]
\[L = 4t\Big|_{0}^{2\pi} = 8\pi\]

Таким образом, длина кривой линии составляет 8π.

2. Для нахождения площади поперечного сечения, образованного плоскостью, проведенной через конец радиуса шара и образующую угол 60o с ним, можно найти точку пересечения плоскости и шара.

Уравнение шара с центром в начале координат (0; 0; 0) и радиусом r=10 будет иметь вид:
\(x^2 + y^2 + z^2 = 10^2\)

Для нахождения точки пересечения луча и плоскости сначала найдем координаты конца радиуса шара:
\(x = 10\cos(60°) = 5\)
\(y = 10\sin(60°) = 5\sqrt{3}\)
\(z = 0\)

То есть, конец радиуса шара имеет координаты (5; 5√3; 0).

Подставим эти значения в уравнение плоскости:
\(x - 5 = 0\)
\(y - 5\sqrt{3} = 0\)
\(z = 0\)

Таким образом, плоскостью, проведенной через конец радиуса шара, будет плоскость с уравнением:
\(x = 5\)
\(y = 5\sqrt{3}\)
\(z = 0\)

Площадь поперечного сечения данной плоскостью вычисляется как площадь круга радиусом 5:
\(S = \pi r^2 = 3.14 \times 5^2 = 78.5\)

Таким образом, площадь поперечного сечения составляет 78.5 квадратных единиц.

3. Чтобы найти координаты центра сферы, заданной уравнением \(x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z = 4\), нужно привести уравнение к каноническому виду.

Раскроем скобки:
\(x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z = 4\)
\(x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z - 4 = 0\)

Теперь сгруппируем переменные:
\(x^2 + (y^2 + 2y) + (z^2 - 4z) - 4 = 0\)

Для завершения квадратов выразим полные квадраты:
\(x^2 + (y^2 + 2y + 1) + (z^2 - 4z + 4) - 4 - 1 - 4 = 0\)
\(x^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 - 9 = 0\)

Таким образом, уравнение примет канонический вид:
\(x^2 + (y + 1)^2 + (z - 2)^2 = 9\)

Из этого уравнения можно сказать, что центр сферы находится в точке \((-0; -1; 2)\). Умножив координаты точки, получим ответ: \((-0) \times (-1) \times 2 = 0\).

4. Чтобы определить значение m, при котором точки \(a(0; m; 2)\) и \(b(1; 1; m - 2)\) принадлежат сфере, заданной уравнением \(x^2 + y^2 + z^2 + 2y - 4z = 4\), вставим координаты точек в уравнение сферы и решим полученные уравнения.

Для точки a(0; m; 2):
\(0^2 + m^2 + 2^2 + 2m - 4 \cdot 2 = 4\)
\(m^2 + 4 + 2m - 8 = 4\)
\(m^2 + 2m - 8 + 4 - 4 = 0\)
\(m^2 + 2m - 8 = 0\)

Аналогично, для точки b(1; 1; m – 2):
\(1^2 + 1^2 + (m - 2)^2 + 2 \cdot 1 - 4 \cdot (m - 2) = 4\)
\(1 + 1 + (m^2 - 4m + 4) + 2 - 4m + 8 = 4\)
\(m^2 - 4m + 4 + 4 - 4m + 8 - 4 = 0\)
\(m^2 - 8m + 12 = 0\)

Приравняем полученные уравнения и решим полученное квадратное уравнение:
\(m^2 + 2m - 8 = m^2 - 8m + 12\)
\(2m + 8 = -8m + 12\)
\(10m = 4\)
\(m = \frac{4}{10}\)
\(m = 0.4\)

Таким образом, значение m, при котором точки a(0; m; 2) и b(1; 1; m – 2) принадлежат сфере, равно 0.4.