1) Каков угол между прямой, проходящей через точки A и C, и плоскостью, образованной точками B, B1 и D? 2) Что такое

1) Для начала нам необходимо определить уравнения прямой, проходящей через точки A и C, а также уравнение плоскости, образованной точками B, B1 и D.

Для уравнения прямой мы можем использовать формулу наклона. Наклон (или тангенс) можно определить по формуле: \[m = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}\]

Пусть A(x1, y1), C(x2, y2), тогда уравнение прямой будет состоять из точки A и углового коэффициента m:
\[y - y_1 = m(x - x_1)\]

Для уравнения плоскости, образованной точками B, B1 и D, мы можем использовать формулу площади треугольника. Пусть B(x1, y1, z1), B1(x2, y2, z2) и D(x3, y3, z3). Тогда уравнение плоскости будет выглядеть следующим образом:
\[(x - x_1)(y_2 - y_1)(z_3 - z_1) + (y - y_1)(z_2 - z_1)(x_3 - x_1) + (z - z_1)(x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x - x_1)(z_2 - z_1)(y_3 - y_1) - (y - y_1)(x_2 - x_1)(z_3 - z_1) - (z - z_1)(y_2 - y_1)(x_3 - x_1) = 0\]

Теперь, чтобы определить угол между прямой и плоскостью, мы можем использовать формулу, которая представляет собой арктангенс от произведения наклонов:
\[Угол = \arctan(m_1 \cdot m_2)\]

Где \(m_1\) - наклон прямой, \(m_2\) - наклон плоскости.

2) Расстояние от точки C до плоскости, образованной точками B, B1 и D, можно найти с помощью формулы для расстояния между точкой и плоскостью. Формула имеет следующий вид:
\[d = \frac{{|Ax + By + Cz + D|}}{{\sqrt{{A^2 + B^2 +C^2}}}}\]

Где A, B, C и D - коэффициенты уравнения плоскости, а x, y, z - координаты точки C. Подставим значения коэффициентов и координат точки C в данную формулу и рассчитаем расстояние.

3) Чтобы найти угол между прямой, проходящей через точки C1 и O, и плоскостью, нам необходимо определить нормаль к плоскости и найти угол между нормалью и направляющим вектором прямой.

Для начала найдем нормаль к плоскости, образованной точками B, B1 и D. Нормаль к плоскости можно найти с помощью векторного произведения двух направляющих векторов плоскости. Пусть вектора AB и AD - направляющие векторы плоскости, тогда нормаль будет равна их векторному произведению [AB, AD].

Затем определим направляющий вектор прямой, проходящей через точки C1 и O. Пусть C1(x1, y1, z1) и O(x2, y2, z2), тогда направляющий вектор будет равен [C1O] = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1).

Теперь, чтобы найти угол между нормалью и направляющим вектором прямой, мы можем использовать формулу:
\[Угол = \arccos\left(\frac{{\mathbf{N} \cdot \mathbf{V}}}{{|\mathbf{N}| \cdot |\mathbf{V}|}}\right)\]

Где \(\mathbf{N}\) - нормаль к плоскости, \(\mathbf{V}\) - направляющий вектор прямой.

Используя данную формулу, мы можем рассчитать угол между прямой и плоскостью.