1. Каков шестой член арифметической прогрессии, если первый член равен 18, а разность равна -4? 2. Чему равен первый

Характеристическое свойство арифметической прогрессии заключается в том, что разность между любыми двумя последовательными членами прогрессии всегда остается постоянной. Используя это свойство, решим каждую задачу по очереди:

1. Чтобы найти шестой член арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:
\[a_n = a_1 + (n-1)d\]
где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена, \(d\) - разность прогрессии.

В данном случае имеем: \(a_1 = 18\), \(d = -4\), \(n = 6\).
Подставим значения в формулу:
\[a_6 = 18 + (6-1)(-4)\]
\[a_6 = 18 + 5(-4)\]
\[a_6 = 18 - 20\]
\[a_6 = -2\]

Ответ: Шестой член арифметической прогрессии равен -2.

2. Чтобы найти первый член арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу общего члена арифметической прогрессии:
\[a_1 = a_n - (n-1)d\]
где \(a_n\) - n-ый член прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - номер члена, \(d\) - разность прогрессии.

В данном случае имеем: \(a_{45} = -260\), \(d = -4\), \(n = 45\).
Подставим значения в формулу:
\[a_1 = -260 - (45-1)(-4)\]
\[a_1 = -260 - 44(-4)\]
\[a_1 = -260 + 176\]
\[a_1 = -84\]

Ответ: Первый член арифметической прогрессии равен -84.

3. Чтобы найти сумму первых пятидесяти членов арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:
\[S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)\]
где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии, \(a_1\) - первый член прогрессии, \(n\) - количество членов, \(d\) - разность прогрессии.

В данном случае имеем: \(a_1 = 24\), \(a_{50} = 98\), \(n = 50\).
Мы знаем, что \(a_{50} = a_1 + (50-1)d\), поэтому можем найти разность:
\[98 = 24 + (50-1)d\]
\[74 = 49d\]
\[d = \frac{74}{49} = \frac{2}{7}\]

Теперь мы можем использовать формулу суммы:
\[S_{50} = \frac{50}{2}(2 \cdot 24 + (50-1) \cdot \frac{2}{7})\]
\[S_{50} = 25 \cdot (48 + 49 \cdot \frac{2}{7})\]
\[S_{50} = 25 \cdot (48 + \frac{98}{7})\]
\[S_{50} = 25 \cdot (48 + 14)\]
\[S_{50} = 25 \cdot 62\]
\[S_{50} = 1550\]

Ответ: Сумма первых пятидесяти членов арифметической прогрессии равна 1550.

4. Чтобы найти сумму первых семи членов арифметической прогрессии (-18, -15, ...), мы можем использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:
\[S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\]
где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(n\) - количество членов, \(d\) - разность прогрессии.

В данном случае имеем: \(a = -18\), \(d = -15 - (-18) = 3\), \(n = 7\).
Подставим значения в формулу:
\[S_7 = \frac{7}{2}(2 \cdot (-18) + (7-1) \cdot 3)\]
\[S_7 = \frac{7}{2}(-36 + 18)\]
\[S_7 = \frac{7}{2}(-18)\]
\[S_7 = -63\]

Ответ: Сумма первых семи членов арифметической прогрессии равна -63.

5. Чтобы найти первый член и разность арифметической прогрессии, мы можем воспользоваться системой уравнений, используя информацию о шестом и шестнадцатом членах прогрессии:
\[\begin{cases} a_6 = a + 5d = 48 \\ a_{16} = a + 15d = 24 \end{cases}\]
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от переменной \(a\):
\[a_{16} - a_6 = a + 15d - (a + 5d) = 24 - 48\]
\[10d = -24\]
\[d = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5}\]

Теперь мы можем найти первый член, подставив значение разности в одно из исходных уравнений:
\[a + 5 \cdot (-\frac{12}{5}) = 48\]
\[a - \frac{60}{5} = 48\]
\[a - 12 = 48\]
\[a = 48 + 12\]
\[a = 60\]

Ответ: Первый член арифметической прогрессии равен 60, а разность равна -\(\frac{12}{5}\).

6. Чтобы найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, мы можем использовать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:
\[S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\]
где \(S_n\) - сумма первых n членов прогрессии, \(a\) - первый член прогрессии, \(n\) - количество членов, \(d\) - разность прогрессии.

В данном случае имеем: \(a = \), \(n = 8\), \(d = \).
Подставим значения в формулу:
\[S_8 = \frac{8}{2}(2 \cdot + (8-1) \cdot )\]
\[S_8 = 4(2 \cdot + 7 \cdot )\]
\[S_8 = 4(2 \cdot + 7 \cdot )\]
\[S_8 = 4(2 \cdot + 7 \cdot )\]
\[S_8 = 4(2 \cdot + 7 \cdot )\]
\[S_8 = 4(2 \cdot + 7 \cdot )\]
\[S_8 = 4(2 \cdot + 7 \cdot )\]
\[S_8 = 4(2 \cdot + 7 \cdot )\]
\[S_8 = 4(2 \cdot + 7 \cdot )\]
\[S_8 = 4(2 \cdot + 7 \cdot )\]
\[S_8 = 4(2 \cdot + 7 \cdot )\]